[Funções Diferenciável] em um determinado ponto

por **Marcos07** » Seg Jun 30, 2014 16:45

no ponto p = (0,0)

Não estou conseguindo identificar se a função é ou não diferenciável.

Se não tiver compreendido a função, existe uma imagem em anexo abaixo.

por **Man Utd** » Ter Jul 01, 2014 01:14

Olá

Temos que resolver o "limitão" : $\lim_{ (h,k) \to (0,0) } \; \frac{f(h+x_{0},k+y_{0})-f(x_{0},y_{0})-ah-bk}{\sqrt{h^2+k^2} }$ onde $a=\frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x}$ , e , $b=\frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial y}$ e este "limitão" obrigatoriamente deve ser zero para a função ser diferenciavel no ponto $(x_{0},y_{0})$ caso não seja feita esta condição a função não é diferenciavél em $(x_{0},y_{0})$ .

Então obtemos que :

$a=\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}= \lim_{ x \to 0} \; \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim_{ x \to 0 } \; \frac{4x-0}{x}=4$

$b=\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}= \lim_{ y \to 0} \; \frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=\lim_{ y \to 0 } \; \frac{-5y-0}{y}=-5$

Então :

$\lim_{ (h,k) \to (0,0) } \; \frac{f(h+0,k+0)-f(0,0)-ah-bk}{\sqrt{h^2+k^2} }$

$\lim_{ (h,k) \to (0,0) } \; \frac{\frac{2h^2 k}{\sqrt{h^2+k^2}}+4h-5k-0-4*h-(-5)*k}{\sqrt{h^2+k^2} }$

$\lim_{ (h,k) \to (0,0) } \; \frac{\frac{2h^2 k}{\sqrt{h^2+k^2}}+4h-5k-4h+5k}{\sqrt{h^2+k^2} }$

$\lim_{ (h,k) \to (0,0) } \; \frac{\frac{2h^2 k}{\sqrt{h^2+k^2}}}{\sqrt{h^2+k^2} }$

$\lim_{ (h,k) \to (0,0) } \; \frac{2h^2 k}{h^2+k^2 }$

$\lim_{ (h,k) \to (0,0) } \; 2k* \frac{h ^2}{h^2+k^2 }$

Veja que

vai a zero quando $(h,k) \to (0,0)$ e que $\frac{h^2}{h^2+k^2 }$ é limitada em $\left[0,1 \right]$ , para provar isto faça :

$x^2 \leq x^2+y^2$

$\frac{x^2}{x^2+y^2} \leq \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}$

$\frac{x^2}{x^2+y^2} \leq 1$

veja tbm que $\frac{x^2}{x^2+y^2}$ é sempre positivo , então o menor valor que pode assumir é quando x=0

que implica que $\frac{x^2}{x^2+y^2}=0$ , daí obtemos que esta função é limitada e sua imagem é $\left[0,1 \right]$ .

Logo pelo teorema da função limitada $\lim_{ (h,k) \to (0,0) } \; 2k* \frac{h ^2}{h^2+k^2 }=0$ , então como o limite é zero segue que a função f(x,y)