[DERIVAÇÃO] Diferença entre normal e parcial

[felipeek]

Suponha uma função de duas variáveis F(x,y).

Eu queria saber, precisamente, a diferença entre derivar esta função parcialmente e "não parcialmente" em relação a x, por exemplo.

Ou seja, a diferença entre:

e

É sabido que:



A partir deste resultado, me vem a ideia que quando fazemos estamos levando em conta que y depende de x, ou algo do tipo. E quando fazemos parece que y não depende de x ou que ignoramos este fato.

Se alguém pudesse me dar uma ajudada a entender melhor a diferença destas duas derivadas, ia me ajudar muito!

Valeu

@edit: Queria deixar claro que o meu problema não é o cálculo destas derivadas, e sim entender a diferença teórica entre elas!

[Russman]

Você está no caminho certo! Sua observação é bastante pertinente. Mas...

No caso em que y e x são variáveis independentes (isto é, os valores que uma pode assumir não depende dos valores que a outra pode assumir) de uma função F(x,y) as derivadas total e parcial com relação a mesma variável se confundem. Ou seja, acabam calculando a mesma função. O que não é verdade no caso contrário.

Esta confusão é mero resultado do significado de derivação parcial. De fato, o que você está fazendo ao operar uma função de duas ou mais variáveis com a derivação parcial é derivá-la com relação a uma de suas variáveis tomando todas as outras constantes. Se a função depende de duas variáveis e você a deriva parcialmente com relação a uma delas é o mesmo que seccionar a superfície definida por essa função e estudar a secção no ponto de vista da variável de derivação.

[felipeek]

Você está no caminho certo! Sua observação é bastante pertinente. Mas...

No caso em que y e x são variáveis independentes (isto é, os valores que uma pode assumir não depende dos valores que a outra pode assumir) de uma função F(x,y) as derivadas total e parcial com relação a mesma variável se confundem. Ou seja, acabam calculando a mesma função. O que não é verdade no caso contrário.

Esta confusão é mero resultado do significado de derivação parcial. De fato, o que você está fazendo ao operar uma função de duas ou mais variáveis com a derivação parcial é derivá-la com relação a uma de suas variáveis tomando todas as outras constantes. Se a função depende de duas variáveis e você a deriva parcialmente com relação a uma delas é o mesmo que seccionar a superfície definida por essa função e estudar a secção no ponto de vista da variável de derivação.

Valeu Russman, isso ajudou bastante! Ainda tenho algumas dúvidas

Se a função depende de duas variáveis e você a deriva parcialmente com relação a uma delas é o mesmo que seccionar a superfície definida por essa função e estudar a secção no ponto de vista da variável de derivação.

Vamos supor que eu derive uma função F(x,y) parcialmente em relação a x, por exemplo, e obtenha uma nova função que dependa de ambos x e y. Neste caso, qual seria o sentido de y neste resultado? Seria y uma variável que simplesmente determina qual a "secção" que eu desejo "estudar", digamos assim? Por exemplo, ao tomar y=2, a função F'(x,2) mostraria a variação da variável x na secção de z e x com y fixado em 2. É por aí?

Outra pergunta, qual seria então o sentido da derivada total de F com relação a x?

Valeu!

@edit: pensei um pouco: Se y for função de x, a derivada total de F seria então simplesmente a taxa de variação de x com relação a F? Pois como y depende de x, era como se F fosse uma função de uma só variável

[Russman]

Vamos supor que eu derive uma função F(x,y) parcialmente em relação a x, por exemplo, e obtenha uma nova função que dependa de ambos x e y. Neste caso, qual seria o sentido de y neste resultado? Seria y uma variável que simplesmente determina qual a "secção" que eu desejo "estudar", digamos assim? Por exemplo, ao tomar y=2, a função F'(x,2) mostraria a variação da variável x na secção de z e x com y fixado em 2. É por aí?

Exatamente. Por exemplo, considere a função . Ao tomar a derivada parcial desta função com relação a x você obtém uma nova função dada por



A função obtida é uma família de funções lineares em x, no sentido de que as inclinações são dependentes de y como facilmente se vê.

Note que se ao invés de trabalharmos com variável e o substituíssemos por uma valor constante, por exemplo, teríamos



de onde



que exemplifica bem a tecnologia da derivação parcial.

Outra pergunta, qual seria então o sentido da derivada total de F com relação a x?

A derivação total considera não só a dependência explícita de uma certa variável na função de interesse como a implícita. Suponha que você esteja estudando uma função onde . Ou seja, a variável esta parametrizada. Desta forma a própria função F varia com o parâmetro de modo que a derivada total calcula exatamente como se dá esta variação.

[felipeek]

A derivação total considera não só a dependência explícita de uma certa variável na função de interesse como a implícita. Suponha que você esteja estudando uma função onde . Ou seja, a variável esta parametrizada. Desta forma a própria função F varia com o parâmetro de modo que a derivada total calcula exatamente como se dá esta variação.

Pode se dizer então que, de uma maneira bem geral, o uso da derivação total em funções de duas ou mais variáveis é útil quando as variáveis independentes desta função tem alguma relação entre si ou com alguma outra variável? Relações diretas entre elas, como por exemplo F(x, y(x)) ou mesmo parametrizações como você destacou