CÁLCULO DE LIMITE COM RAIZES DE ÍNDICES DIFERENTES

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CÁLCULO DE LIMITE COM RAIZES DE ÍNDICES DIFERENTES

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CÁLCULO DE LIMITE COM RAIZES DE ÍNDICES DIFERENTES

Mensagempor thiago15_2 » Qui Fev 27, 2014 01:20

Galera, estou com uma duvida grande aqui.
Não tenho prática para escrever as fórmulas mais vai dar pra entender.

A questão é essa:


lim (raizcúbica de 8x-8) + (raizquarta de 16x²+16) -4/(raizquadrada de 4x²+4) -2
x->0

Obs(sem usar derivada)

Meu professor faz a mudança de variável tirando o mmc dos índices. Eu só sei fazer quando dentro da raiz só tem o x. quando tem o x², ou um polinômio, já não sei fazer.

A resposta é 7/6. queria saber mesmo como fica essa mudança de variável.
GRATO.
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Re: CÁLCULO DE LIMITE COM RAIZES DE ÍNDICES DIFERENTES

Mensagempor young_jedi » Sex Fev 28, 2014 15:15

imagino que o limite seja esse

\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{8x+8}+\sqrt[4]{16x^2+16}-4}{\sqrt{4x^2+4}-2}

podemos simplificar um pouco

\lim_{x\to0}\frac{2\sqrt[3]{x+1}+2\sqrt[4]{x^2+1}-4}{2\sqrt{x^2+1}-2}

\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[4]{x^2+1}-2}{\sqrt{x^2+1}-1}


a mudança de variavel que que eu proponho é esta

\sqrt[12]{x+1}=y

x\to0
y\to1

então o limite ficaria

\lim_{y\to1}\frac{y^4+y^3-2}{y^6-1}

\lim_{y\to1}\frac{(y-1)(y^3+2y^2+2y+2)}{(y-1)(y^5+y^4+y^3+y^2+y+1)}

\lim_{y\to1}\frac{\cancel{(y-1)}(y^3+2y^2+2y+2)}{\cancel{(y-1)}(y^5+y^4+y^3+y^2+y+1)}

\lim_{y\to1}\frac{y^3+2y^2+2y+2}{y^5+y^4+y^3+y^2+y+1}=\frac{7}{6}
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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