[EQUAÇÃO DIFERENCIAL] Forma separavel

por **fabriel** » Qua Dez 11, 2013 16:40

E ai pessoal, tudo trankuilo?
Então to estudando Equações diferenciais e não entendi uma passagem aqui, estou estudando a parte de variáveis separáveis.
Vejam só.

Notemos que equações do tipo:

$\frac{dy}{dx}=f\left(ax+by+c \right)$ (1.1)

Onde a e b são constantes, não são equações de variáveis separáveis, mas podem ser reduzidas a elas por meio da seguinte substituição:

$v=ax+by+c\Rightarrow\frac{dv}{dx}=a+b\frac{dy}{dx}$ (1.2)

Substituindo em (1.1) temos:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{b}\left(\frac{dv}{dx}-a \right)=f(v)\Rightarrow\frac{dv}{dx}=bf(v)+a=g(v)$

NÃO ENTENDI, o porque de concluir que $\frac{dy}{dx}=f(v)$ .

Eu agradeceria se alguém pudesse me ajudar.

Obrigado

por **e8group** » Qua Dez 11, 2013 17:24

fabriel escreveu:E ai pessoal, tudo trankuilo?
Então to estudando Equações diferenciais e não entendi uma passagem aqui, estou estudando a parte de variáveis separáveis.
Vejam só.

Notemos que equações do tipo:

$\frac{dy}{dx}=f\left(ax+by+c \right)$ (1.1)

Onde a e b são constantes, não são equações de variáveis separáveis, mas podem ser reduzidas a elas por meio da seguinte substituição:

$v=ax+by+c\Rightarrow\frac{dv}{dx}=a+b\frac{dy}{dx}$ (1.2)

Substituindo em (1.1) temos:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{b}\left(\frac{dv}{dx}-a \right)=f(v)\Rightarrow\frac{dv}{dx}=bf(v)+a=g(v)$

NÃO ENTENDI, o porque de concluir que $\frac{dy}{dx}=f(v)$ .

Eu agradeceria se alguém pudesse me ajudar.

Obrigado

A resposta para sua dúvida seria bem simples , pelo fato da substituição de variável feita . Não se é isso que você está com dúvida .

por **fabriel** » Qua Dez 11, 2013 18:48

Sim, mas como que disso:

$\frac{1}{b}\left(\frac{dv}{dx}-a \right)$ posso afirmar que é igual a isso f(v)

.

ou seja,

$\frac{1}{b}\left(\frac{dv}{dx}-a \right) = f(v)$

por **e8group** » Qua Dez 11, 2013 18:59

Sim . Segundo a mudança de variável v = ax+by+ c

,teremos que

y' = f(v)

. Mas , derivando-se v = ax+by+ c

com respeito a

,vamos obter

$v' = a +by' \implies v' - a = by' \implies \frac{v'-a}{b} = y'$ e assim

$\frac{v'-a}{b} = f(v)$ .

Bom não fiz nada de mais além da solução a qual você postou . Comente qualquer dúvida .