[Integral Dupla] Arcotangente

por **KleinIll** » Qui Jun 20, 2013 17:52

Exercício: Uma carga elétrica é distribuída sobre uma placa $R = \left[ \left(r,\theta) \right/ 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}; 1\leq r\leq 2 \right]$ . A densidade de carga é de $\delta\left(x,y \right) = arctang\left(\frac{\ y}{x} \right)$ (medida em Coulombs por metro quadrado). Qual é a carga total da placa?

Sendo $y = r.sen \theta$ e $x = r.cos \theta$

Montei a integral dessa forma: $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{1}^{2}r.{tg}^{-1}\left(tg\theta \right)drd\theta$

Porém, não consigo resolver o problema devida a equação de densidade de carga elétrica, que é dada por arco-tangente.

Alguém pode ajudar?

Obrigado.

por **young_jedi** » Qui Jun 20, 2013 22:05

amigo, nos temos que

$tg^{-1}(tg(\theta))=\theta$

é so substituir na integral

por **KleinIll** » Sex Jun 21, 2013 01:31

Obrigado. Eu só quero pedir mais uma coisa, caso não for incomodo, pode demonstrar ou apresentar os argumentos para que tg-¹(tgx) = x?

Edição: desconsidere, já esclareci.

por **Jhenrique** » Sex Jun 21, 2013 17:37

Tome como exemplo a equação y = x

Pode-se multiplicá-la por x, assim:

y/x = x/x

e terá:

y/x = 1

A ideia é análoga para y = f(x)

f?¹(y) = f?¹(f(x)) (a função inversa (f?¹) é aplicada na igualdade)

e resulta em:

f¹(y) = x

No seu caso, tg?¹(x) = arctg(x) = arco cuja tangente é x

fica assim:

arctg(tg(x)) = x

É como se as funções tg e arctg se cancelassem, da mesma forma quando adicionamos certo valor k em x e daí subtraimos esse mesmo valor k de x, ou seja, x + k - k = x.

por **KleinIll** » Sex Jun 21, 2013 19:18

Obrigado, Jhenrique.

Eu entendi quando pensei na própria função das funções dos arcos, que é retornar um ângulo a partir da relação trigonométrica correspondente, ou seja, se seno de 30º é 1/2, arcoseno de 1/2 é 30º.