Propriedades Operatórias do Limite

por **J0elKim** » Qui Abr 18, 2013 22:55

Oi! Minha dúvida é: quando não posso usar as propriedades operatórias?
Exemplo de um caso em que os resultados (usando e não usando as propriedades) não bateram:

Calcule: $lim_{x\to0}\frac{x-tgx}{x+tgx}$

Minha resposta usando diretamente as propriedades: (como lim x->0 de x+tgx é diferente de zero) o limite é igual à 0-1/0+1 = -1
Usando a propriedade só depois de abrir as tangentes e simplificar todos os termos por x, o resultado foi 0 (resultado correto pelo gabarito)

Alguem poderia esclarecer a dúvida e me explicar essas situações?

Obrigado

por **e8group** » Sex Abr 19, 2013 00:08

Neste caso não podemos aplicar uma das regras operatórias de limites ,regra esta do quociente .Pois ,pela propriedade "limite da soma é a soma dos limites ", concluímos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando se aproxima de zero . Logo ,este limite apresenta uma forma indeterminada "0/0" . Devemos manipular a expressão com objetivo de eliminar esta indeterminação .Antes de prosseguir com a solução ,gostaria de ressaltar que $\lim_{x\to 0} tan(x)/x = 1$ .(Dica : Observe que $tan(x)/x = \frac{\dfrac{sin(x)}{cos(x)}}{x} = \frac{sin(x)}{x} \cdot \frac{1}{cos(x)}$ ;assim ,quando $x\to 0 , \frac{sin(x)}{x} \to 1$ e $1/cos(x) \to 1$ e portanto segue o resultado do limite) .
Visto o resultado do limite acima é fácil ver que o "artifício" que vamos usar p/ sairmos da indeterminação será dividir x -tan(x)

e

por

,desta forma não vamos alterar o resultado e esta operação é valida uma vez que $x \neq 0$ .Segue então ,

$\lim_{x\to0} \frac{x -tan(x)}{x +tan(x)} = \lim_{x\to0} \frac{\dfrac{x -tan(x)}{x}}{\dfrac{x +tan(x)}{x}} = \lim_{x\to0} \frac{1-\dfrac{tan(x)}{x}}{1 +\dfrac{tan(x)}{x}}$ .Agora tente concluir .