[limite trigonometrico]creio que resultado foi coincidencia

por **marcosmuscul** » Qui Mar 28, 2013 17:23

amigos:
a expressão é esta:
$\lim_{x->0}\frac{tan(\pi x)}{tan(x)}$
resolvi de dois modos:
modo 1:
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{tan(\pi x)}{tan(x)} = \frac{\pi tan(x)}{1 - {tan}^{\pi} (x)} . \frac{1}{tan(x)} = \frac{\pi}{1 - {tan}^{\pi} (x)} = \pi , quando: x \rightarrow 0$
modo 2:
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{tan(\pi x)}{tan(x)} = \frac{sen(\pi x)}{sen(x)} . \frac{cos(x)}{cos(\pi x)} . \frac{2}{2}$

fazendo uso desta propriedade trigonométrica:
http://www.algosobre.com.br/matematica/trigonometria-multiplicacao-e-divisao-de-arcos.html

altero a expressão por uma similar:
$\frac{p + q}{2} = \pi x$ e $\frac{p - q}{2} = x$

...............resolvendo............

$p = x(\pi + 1)$ e $q = x(\pi - 1)$
___________________________________________________
$\frac{a + b}{2} = x$ e $\frac{a - b}{2} = \pi x$

.............resolvendo.............

$a = x(\pi + 1)$ e $b = x(-\pi + 1)$

___________________________________________________
a expressão fica então assim:

.
alguém poderia me ajudar a encontrar o valor $\pi$ como resposta?
grato por sua nobreza em ler o tópico.

por **marcosmuscul** » Qui Mar 28, 2013 18:00

amigos. acho que consegui.
$\lim_{x->0}\frac{sen\pi x}{\pi x}.\frac{\pi x}{cos\pi x} . \frac{cosx}{\frac{senx . x}{x}} = \pi$

MAs mesmo, assim:
o modo 1 e/ou modo 2 estaria incorreto?

por **e8group** » Qui Mar 28, 2013 18:33

Poderia por favor mostrar como obteu aquelas relações que você impôs ser igual ao limite no primeiro membro no modo 1 .

Observação : a notação $\lim_{x \to " ..."}$ deve ser sempre acompanhada ao lado da expressão a até o limite ser calculado .

Como sugestão ,mostre primeiro que $\lim_{x\to 0} \frac{tan(x\cdot \lambda)}{x} = \lambda$ para qualquer $\lambda \neq 0$ real .Com base neste resultado, conclua que $\lim_{x\to 0} \frac{tan(x \cdot \pi)}{tan(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{\dfrac{tan(x\cdot \pi)}{x}}{\dfrac{tan(x)}{x}} = \frac{\pi}{1} = \pi$ .

por **marcosmuscul** » Qui Mar 28, 2013 19:28

como eu disse antes, eu tenho certeza que o modo 1 está errado. o resultado foi apenas coincidencia:
já provei o que vc pediu antes do seu post.
aliás, todos sabem a fórmula para tan(2x). Existe alguma formula geral para tan(nx), tal que n>=2 ?
valeu amigo pela ajuda.