Então, estou com duvidas na resolução dessa integral:
![2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(cos t) \sqrt[]{1+4{sen}^{2}t}dt](/latexrender/pictures/ebb2c7c7727ad910c7f3366cff7bb9d9.png "2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(cos t) \sqrt[]{1+4{sen}^{2}t}dt")
Ai fiz o seguinte:
Chamei
Então
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![=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt[]{1+4{u}^{2}}du](/latexrender/pictures/35a46c0b0d78300acd94e875e8bd3e97.png "=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt[]{1+4{u}^{2}}du")
Ai resolvendo a integral, vamos chegar na seguinte expressão:
![\frac{4}{3}\sqrt[]{{\left(1+4{u}^{2} \right)}^{3}}= \frac{4}{3}\sqrt[]{{\left(1+4{sen}^{2}t \right)}^{3}}](/latexrender/pictures/33a51ccc8c9a7c6aab796228f0747e1c.png "\frac{4}{3}\sqrt[]{{\left(1+4{u}^{2} \right)}^{3}}= \frac{4}{3}\sqrt[]{{\left(1+4{sen}^{2}t \right)}^{3}}")
Avaliados nos pontos pi/2 e 0.Ai teremos:
![\frac{4}{3}\sqrt[]{{\left(1+4{sen}^{2}\left(\frac{\pi}{2} \right) \right)}^{3}} - \frac{4}{3}\sqrt[]{{\left(1+4{sen}^{2}\left(0) \right)}^{3}}](/latexrender/pictures/e3dedb381c930fb8a522d0669378b7f7.png "\frac{4}{3}\sqrt[]{{\left(1+4{sen}^{2}\left(\frac{\pi}{2} \right) \right)}^{3}} - \frac{4}{3}\sqrt[]{{\left(1+4{sen}^{2}\left(0) \right)}^{3}}")
e que resulta em:
![\frac{20\sqrt[]{5}}{3}-\frac{4}{3}](/latexrender/pictures/713bf04559858b3a66ed93969e821eaf.png "\frac{20\sqrt[]{5}}{3}-\frac{4}{3}")
Mas o livro diz que o resultado é:
![\frac{1}{2}\left(2\sqrt[]{5}+ln(2+\sqrt[]{5} \right)](/latexrender/pictures/36620ab033c2b7712fb06fa83255096f.png "\frac{1}{2}\left(2\sqrt[]{5}+ln(2+\sqrt[]{5} \right)")
Então qual foi meu erro?? Foi na hora da substituição?
![\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}](/latexrender/pictures/981987c7bcdf9f8f498ca4605785636a.png "\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}")
![\sqrt[]{2}](/latexrender/pictures/f21662d1cabab6e8b273a4b6f1cd663a.png "\sqrt[]{2}")
e elevar ao quadrado os dois lados)