[Derivada] Função Implicita-duvidas na resoluão.

por **fabriel** » Dom Mar 17, 2013 01:11

Boa Noite pessoal.

Então acabei de ver um exercício aqui, mas estou em duvida quanto a resolução. É o seguinte:

O exercicio é Calcular a derivada dy/dx dessa função implícita aqui: $a.{cos}^{2}\left(x+y \right)=b$
Meu inicio de resolução é da seguinte maneira:
cos (x+y) = cos x . cos y - sen x . sen y

cos (x+y) = cos x . cos y - sen x . sen y

Então:
$a.{cos}^{2}\left(x+y \right)=b$
${\left( cos x . cos y - sen x . sen y \right)}^{2}=\frac{b}{a}$
Derivando ambos os menbros temos:
$2( cos x . cos y - sen x . sen y )(-senx.cosy-seny.\frac{dy}{dx}.cosx-cosx.seny-cosy.\frac{dy}{dx}.senx)$ = 0
Mas isso resultara em um calculo muito extenso.. Existe outro caminho mais facilll??
Obrigado!!

por **e8group** » Dom Mar 17, 2013 12:57

Vamos associar $\ y$ a g(x)

.

Então , $a\cdot cos^2(x+y) = b \iff a\cdot cos^2(x+g(x)) = b$ .

A igualdade acima só faz sentido $\iff b/a \geq 0$ .Neste contexto, podemos dizer que ,

$cos^2(x+y) = \frac{b}{a}$ . E ainda ,considerando h(x) = x + g(x)

,temos

$cos^2(h(x)) = \frac{b}{a}$ . Derivando implicitamente com respeito a

,

$[cos^2(h(x))]' = [\frac{b}{a}]' = 0$ .

De $[cos^2(h(x))]' = 2 \cdot cos(h(x)) \cdot (-sin(h(x))\cdot h'(x) = - sin(2h(x)) \cdot h'(x)$ e

h'(x) = (x+g(x))' = 1 +g'(x)

,segue que

$[cos^2(h(x))]' = - sin(2[x+g(x)]) \cdot (1 +g'(x))$ .

Logo , $[cos^2(h(x))]' = 0 \iff g'(x) = - 1$ ou - sin(2[x+g(x)]) = 0

.

Ou seja , g'(x) = -1

e $2[x+g(x)] = k \cdot \pi , \forall k\in \mathbb{Z} \implies g(x) = - x + \frac{ k \cdot \pi }{2} , \forall k\in \mathbb{Z}$ , e de fato y' =g'(x) = - 1

.

Tem gabarito ?

por **fabriel** » Dom Mar 17, 2013 14:31

Interessante!
Não tenho o gabarito, mas eu tinha feito daquele meu jeito, e tinha dado -1 também. Deve ser isso mesmo, pois de dois jeitos diferentes chegamos a um mesmo caso..
Obrigado!!

por **e8group** » Dom Mar 17, 2013 14:39

OK . Acredito que está correto também .Utilizei o wolfram alpha para conferir a resolução ,mas ele reconheceu cos(x+y)

como uma função da forma z = f(x,y)

.

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