Problema de cauchy EDO

por **thejotta** » Sex Jan 11, 2013 10:10

Código: Selecionar todos: ty'+2y-cos(t)/t =0 y(t0)=y0

Ache uma solução dessa PVI(Problema de valor inicial)

tentei fazer da seguinte maneira reajustei a formula que ficou assim

Código: Selecionar todos: y'=(cos(t) - 2yt)/t^2

depois tentei integrar cada lado da função mais não conseguir resolver e tambem não sei se estou indo pelo caminho certo.
alguem poderia me ajudar.

por **young_jedi** » Sex Jan 11, 2013 12:12

Nesta EDO voce tem que utilizar o metodo do fator integrante.

Não sei se voce ja estudou ete metodo de resolução, comente qualquer coisa.

por **thejotta** » Sex Jan 11, 2013 13:07

Não ainda não estudei

por **young_jedi** » Sex Jan 11, 2013 15:09

vou tentar então te passar uma solução sem o uso do fator integrante

$t.y'+2y-\frac{cos(t)}{t}=0$

$t.y'+2y=\frac{cos(t)}{t}$

multiplicando a equação por t

t^2.y'+2.t.y=cos(t)

mais temos que

(t^2.y)'=2.t.y+t^2.y'

então

integrando os dois lados da equação com relação a t teremos

$t^2.y=\int cos(t)$

t^2.y=sen(t)+C

$y=\frac{sen(t)+C}{t^2}$

por **thejotta** » Sex Jan 11, 2013 17:58

mais temos que

(t^2.y)'=2.t.y+t^2.y

//Não entendi o pq disso?

então

(t^2.y)'=cos(t)

por **young_jedi** » Sex Jan 11, 2013 18:14

é a derivada pela regra do produto

$\frac{d(t^2.y)}{dt}=\frac{d(t^2)}{dt}y+t^2.\frac{dy}{dt}$

$\frac{d(t^2.y)}{dt}=2.t.y+t^2.\frac{dy}{dt}$

(t^2.y)'=2.t.y+t^2.y'

por **thejotta** » Sex Jan 11, 2013 23:41

Muito obrigado mesmo... acabei tmb lendo sobre o metodo do fator integrante e conseguir resolver, mais ainda ficou uma duvida sobre a substituição do valor inicial.. como faz para achar Y(t0)=v0 e os valores de t0 r v0?