[Integrais] Resolução incorreta?

por **MrJuniorFerr** » Dom Nov 11, 2012 23:04

Resolvi o seguinte exercício mas não cheguei no resultado correto.

$\int sen^2xcos^2xdx = \int \frac{1}{2}(1-cos2x)\frac{1}{2}(1+cos2x)dx$

$\int \frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x.\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2xdx$

$\frac{1}{2}\int dx - \frac{1}{4}\int cos2xdx+\frac{1}{2}\int cos2xdx$

u=2x

$\frac{1}{2}x-\frac{1}{8} \int cosudu+\frac{1}{4}\int cosudu$

$\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}sen2x+\frac{1}{4}sen2x+C$

O resultado correto é:

$\frac{1}{8}x-\frac{1}{32}sen4x+C$

O que eu fiz de errado?

por **MarceloFantini** » Seg Nov 12, 2012 05:37

Note que

$\sin^2 x \cos^2 x = (\sin x \cos x)^2 = \left( \frac{\sin (2x)}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 (2x)$

$= \frac{1}{4} (1 - \cos^2 (2x)) = \frac{1}{4} \left( 1 - \left( \frac{1 + \cos (4x)}{2} \right) \right) = \frac{1}{8} - \frac{\cos(4x)}{8}$ .

Integrar agora é fácil. Você errou em algumas das transformações que fez, e na distributiva também.