Dificuldade com limites em cálculo I

por **Vidotti** » Dom Nov 04, 2012 20:42

Estou no curso a pouco tempo, tive apenas 2 aulas e tive dificuldade com um exercício pois ele termina como inexistente e não sei muito bem quando um limite cai nessa razão. Só sei que quando seus limites laterais são diferentes então ele não existe.

Então, vou colocar o ex aqui com a minha resolução. Fiz de um jeito e o meu resultado foi 1, porém, na resposta do exercício dá como não existe.

$\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x^4+x^2}}{x}$

$\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x^2(x^2+1)}}{x}$

$\lim_{x\to0} \frac{x\sqrt{x^2+1}}{x}$

$\lim_{x\to0} \sqrt{x^2+1}$

$\lim_{x\to0} \sqrt{0^2+1}$

$\lim_{x\to0} \sqrt{0+1}$

$\lim_{x\to0} \sqrt{1}$

$\lim_{x\to0} 1$

por **MarceloFantini** » Dom Nov 04, 2012 20:47

Note que $\sqrt{x^2} = |x|$ , então $\sqrt{x^2(x^2 +1)} = |x| \sqrt{x^2 +1}$ . Quando fizer os limites laterais, terá 1 e -1. Além disso, sua resolução das quatro últimas linhas está grosseiramente errada, pois você aplicou o limite e continuou escrevendo-o. Isto é passível de anulamento de nota, pois é erro conceitual.

por **Vidotti** » Dom Nov 04, 2012 21:01

Como eu já disse, fiz apenas 2 aulas, gostaria de saber o por que de estar grosseiramente errado o que fiz nas ultimas linhas.

E a quanto os limites laterais, devo entender que sempre que tiver |x| / x , não existe?

por **MarceloFantini** » Dom Nov 04, 2012 21:09

Porque sempre após aplicar o limite você deixa de escrevê-lo, por exemplo $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ , e não $\lim_{x \to 0} x^2 = \lim_{x \to 0} 0$ .

Sim, o limite $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ não existe. Se tomarmos $x \to 0^+$ , isto é, aproximando-se da origem pela direita, temos valores positivos para

, daí

e o limite será $\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1$ . De forma semelhante, tomando $x \to 0^-$ , teremos |x| = -x

e o limite será $\lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = \lim_{x \to 0^-} -1 = -1$ .

Existe um teorema que diz que o limite existe se e somente se os limites laterais são iguais. Como são diferentes o limite não existe.