Limites infinitos

por **Sobreira** » Sáb Out 13, 2012 00:07

$f (x) \lim_{4-}\frac{\sqrt[]{16-{x}^{2}}}{x-4}$

Vendo este limite.
Bom, a técnica que eu utilizo para resolver é que, se tratando de um limite genérico eu substituo o valor de x para o qual está tendendo a função (4).
Neste caso, com a substituição surgirá uma indeterminação do tipo 0/0, então eu sei que tenho que fatorar este polinômio para efetuar os cálculos.
Minha dúvida é, se para quando eu efetuar uma substituição e o numerador der uma constante e o denominador zero, para análise do sinal do infinito, eu devo fatorar o denominador sempre??
Ex.
$f(t) \lim_{2+}\frac{t+2}{{t}^{2}-4}$

Nestes casos que o numerador der uma constante e o denominador der zero direto com a substituição eu devo fatorar o denominador ou posso fazer direto considerando valores maiores que 2 (Por Ex. 3)?

por **MrJuniorFerr** » Sáb Out 13, 2012 00:50

Em Limites infinitos, ou seja, quando o numerador der diferente de 0 de primeira, não é necessário fatorar o denominador. Neste exemplo que você citou, sabe-se que substituindo o valor de t no numerador, será uma constante positiva e como t tende a 2^+

, substituindo 2,01 em t no denominador, você obtém um valor maior que zero, ou seja, o resultado será +infinito.
Lembre-se do teorema de limites infinitos, quando a constante do numerador for positiva (c>0) e o denominador tender a 0^+

, o resultado será +infinito. Se c<0 e o denominador tender a 0^+

, o resultado será -infinito, e por aí vai...

por **MarceloFantini** » Sáb Out 13, 2012 01:05

Atente para o fato de que sua notação está completamente errada. O correto é $\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} \frac{\sqrt{16-x^2}}{x-4}$ .

Semelhante para o segundo caso, onde você inclusive errou a notação da função: disse que era uma função da variável

quando na verdade é

. Troque uma das duas: escreva f(t)

ou $\frac{x+2}{x^2 -4}$ .

por **Sobreira** » Sáb Out 13, 2012 01:37

Obrigado pelas dicas.
E acabei não observando os detalhes das notações. Obrigado.
A questão da fatoração do denominador, eu fiquei confuso pois eu geralmente também resolvo de forma direta, mas em algumas resoluções de livros, eu vi autores utilizando a fatoração para a resolução do limite.

por **Sobreira** » Seg Out 29, 2012 23:29

Fala galera,
Estou neste tópico aki de novo pra comentar um fato que ocorreu a respeito dessa dúvida.
Hoje fiz uma prova de cálculo e antes da prova um colega questionou ao professor um exercício de limite infinito.
O professor disse que não aceitava a resolução por este método (aproximando dos valores para onde x estava tendendo) e só aceitaria caso todo denominador fosse racionalizado pois o procedimento de aproximação estava errado pois não era preciso e era impossível chegar a um valor tão próximo do valor para o qual x está convergindo.
(Não sei se fui bem claro).
Eu resolvi então fatorando o denominador....mas fiquei com essa dúvida agora novamente.Resolvi mais de 60 exercícios por aproximação e a resposta bateu exatamente como o gabarito.....já pesquisei em livros e os autores descrevem este procedimento como sendo válido....
E agora???

por **MarceloFantini** » Ter Out 30, 2012 07:13

Sobreira, confesso que não entendi bem qual foi o problema. Você poderia citar um exemplo de um exercício que você fez, incluindo toda a explicação e procedimento, e dizer que parte exatamente seu professor disse que era inválido?

por **Sobreira** » Ter Out 30, 2012 08:19

$\lim_{x\rightarrow2+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{x+2}{{x}^{2}-4}$

Tomando este exercício como exemplo:
O meu questionamento inicial era de que, substituindo o valor para o qual x está tendendo na questão (neste caso 2) de cara é possível verificar que teremos cte/0.

$\lim_{x\rightarrow2+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{2+2}{4-4}$

Bom, o que eu gostaria de saber, é se a partir deste instante eu poderia utilizar valores próximos de 2 pela direita (neste caso) para suspeitar o comportamento do infinito se ( $+\infty$ ou $-\infty$ ).

Resolvendo este:
$\lim_{x\rightarrow2+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{2,1+2}{{2,1}^{2}-4}$

$\lim_{x\rightarrow2+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{2,1+2}{4,41-4}$

$\lim_{x\rightarrow2+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{4,1}{0,41}$

Este resultado nos levaria a suspeitar que se trata de um limite tendendo ao infinito positivo ( $\infty$ ).
E então o professor informou que não aceitaria este procedimento, então por consequência, teríamos que fatorar o denominador para a resolução do exercício (minha dúvida inicial respondida pelo colega MrJuniorFerr neste mesmo tópico).
Como eu disse, resolvi vários exercícios desta forma e as respostas foram corretas e mesmo que com este procedimento, eu esteja "apenas" investigando o comportamento do infinito, gostaria de saber se é válido ou não este procedimento.

por **MarceloFantini** » Ter Out 30, 2012 09:07

Vamos tomar alguns cuidados.

Sobreira escreveu:O meu questionamento inicial era de que, substituindo o valor para o qual x está tendendo na questão (neste caso 2) de cara é possível verificar que teremos cte/0.

$\lim_{x\rightarrow2+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{2+2}{4-4}$

Bom, o que eu gostaria de saber, é se a partir deste instante eu poderia utilizar valores próximos de 2 pela direita (neste caso) para suspeitar o comportamento do infinito se ( $+\infty$ ou $-\infty$ ).

Resolvendo este:
$\lim_{x\rightarrow2+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{2,1+2}{{2,1}^{2}-4}$

$\lim_{x\rightarrow2+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{2,1+2}{4,41-4}$

$\lim_{x\rightarrow2+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{4,1}{0,41}$

Este resultado nos levaria a suspeitar que se trata de um limite tendendo ao infinito positivo ( $\infty$ )

Primeiro, você está errando grosseiramente a notação ao fazer isto: $\lim_{x \to 2^+} \frac{2+2}{4 -4}$ . Se você 'substituiu' o ponto, por definição não pode escrever o limite junto. Como comentário ao seu método, isto não é uma resolução, porém é válido que você faça tais investigações para entender o comportamento da função. Adotar isto como resposta, no entanto, é errado.

Sobreira escreveu:E então o professor informou que não aceitaria este procedimento, então por consequência, teríamos que fatorar o denominador para a resolução do exercício (minha dúvida inicial respondida pelo colega MrJuniorFerr neste mesmo tópico).
Como eu disse, resolvi vários exercícios desta forma e as respostas foram corretas e mesmo que com este procedimento, eu esteja "apenas" investigando o comportamento do infinito, gostaria de saber se é válido ou não este procedimento.

O seu professor está correto ao não aceitar este procedimento numa resolução, mas ele está errado quanto à "validade" disto, no sentido em que isso contribui, sim, para entender melhor o comportamento da função. No entanto, como já disse, você não pode escrever isto numa resolução. Neste exemplo mesmo, a resolução deveria ser algo como:

Escrevendo x^2 -4 = (x+2)(x-2)

, teremos que o limite torna-se

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{x+2}{x^2 -4} = \lim_{x \to 2^+} \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2}$ ,

onde o denominador irá para zero pela direita, logo positivo, enquanto que o numerador permanece constante, portanto

$\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = + \infty$ .