Derivada segunda

por **barbara-rabello** » Qui Out 18, 2012 12:22

$f(x,y)= (e^(-2xy)cos(x^2 + y^2). Calcule: \frac{\partial^2f}{\partialx^2}(x,y) e \frac{\partial^2f}{\partialy^2}(x,y)$

Consegui calcular a derivada primeira em x: -2ycos(x^2+y^2)e^(-2xy)-2xsen(x^2+y^2)e^(-2xy)

-2ycos(x^2+y^2)e^(-2xy)-2xsen(x^2+y^2)e^(-2xy)

E a derivada primeira em y: -2xcos(x^2+y^2)e^(-2xy)-2ysen(x^2+y^2)e^(-2xy)

Tenho as respostas das derivadas segundas, mas n´~ao estou conseguindo calculá-las, pois são expressões longas
com vários produtos, não consegui derivar tudo!!
Alguém pode me ajudar?
Derivada segunda em x: sen(x^2+y^2)(8xy-2)e^(-2xy)+cos(x^2+y^2)(-4x^2+4y^2)e^(-2xy)

derivada segunda em y: sen(x^2+y^2)(8xy-2)e^(-2xy)+cos(x^2+y^2)(4x^2-4y^2)e^(-2xy)

por **barbara-rabello** » Qui Out 18, 2012 12:23

Na questão é e^(-2xy), não consegui ajeitar no editor, desculpem!

por **young_jedi** » Qui Out 18, 2012 16:32

partindo da derivada primeira que voce ja calculou

$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=-2y.\left(2x.(-sen(x^2+y^2)).e^{-2xy}+cos(x^2+y^2).(-2y).e^{-2xy}\right) \\ \\-2sen(x^2+y^2).e^{-2xy}-2x\left(2x.cos(x^2+y^2).e^{-2xy}+sen(x^2+y^2).(-2y).e^{-2xy}\right)$

fazendo as multiplicações

$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=4yx.sen(x^2+y^2).e^{-2xy}+4y^2cos(x^2+y^2)e^{-2xy} \\ \\-2sen(x^2+y^2).e^{-2xy}-4x^2.cos(x^2+y^2).e^{-2xy}+4xysen(x^2+y^2)e^{-2xy}$

resolvendo as somas

$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=(8yx-2)sen(x^2+y^2).e^{-2xy}+(4y^2-4x^2)cos(x^2+y^2)e^{-2xy}$

tente fazer para a derivada segunda de y

Dicas: na hora de fazer exponecial o expoente tem que ficar entre chaves e^{-2xy}
e na derivada parcial voce deve ter feito no denominador \partialx, mas tem que ter um espaço entre o x
\partial x ou \partial y

por **e8group** » Qui Out 18, 2012 18:20

$\frac{\partial^2 }{\partial y^2}f(x,y) = \frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{\partial }{\partial y}f(x,y)\right )$

Como,

$\frac{\partial }{\partial y}f(x,y) = \frac{\partial }{\partial y}\left(e^{-2xy}(cos(x^2 +y^2)) \right ) = \left(cos(x^2+y^2)\right) \frac{\partial }{\partial y}(e^{-2xy}) + e^{-2xy}\left( \frac{\partial }{\partial y}\left(cos(x^2 +y^2) \right )\right)$

$\frac{\partial }{\partial y}f(x,y) = -2e^{-2xy}\left[ ysin(x^2+y^2)+x(cos(x^2+y^2)) \right ] .$

Assim ,

$\frac{\partial^2 }{\partial y^2}f(x,y) = \frac{\partial }{\partial y}\left(-2e^{-2xy}\left[ ysin(x^2+y^2)+x(cos(x^2+y^2)) \right ]\right)$ .

Agora seja ,

ysin(x^2+y^2)+x(cos(x^2+y^2) = z(x,y)

.

$\frac{\partial^2 }{\partial y^2}f(x,y) = -2 \frac{\partial }{\partial y}\left(e^{-2xy}\cdot z(x,y) \right) = -2 \left( z(x,y)\left[\frac{\partial }{\partial y}e^{-2xy} \right ] +e^{-2xy}\left[\frac{\partial }{\partial y}z(x,y) \right ]\right )$ .

Derivando por partes ,

$\frac{\partial }{\partial y}e^{-2xy} = - 2x (e^{-2xy})$ e

$\frac{\partial }{\partial y}z(x,y) = \frac{\partial }{\partial y}\left(ysin(x^2+y^2)+x(cos(x^2+y^2) \right )$

$\frac{\partial }{\partial y}z(x,y) = \frac{\partial }{\partial y}(y)sin(x^2+y^2) + x\left( \frac{\partial }{\partial (x^2+y^2)}(cos(x^2 +y^2))\cdot \frac{\partial }{\partial y}(x^2+y^2)\right )$

$\frac{\partial }{\partial y}z(x,y) = sin(x^2+y^2 ) + 2y^2 cos (x^2+y^2) - 2xy sin(x^2+y^2) = sin(x^2 +y^2 )[ 1 -2xy] + 2y^2 cos(x^2+y^2)$

Fazendo as substituições , obteremos que :

$\frac{\partial^2 }{\partial y^2}f(x,y) = -2e^{-2xy}([-2xysin(x^2+y^2)-2x^2(cos(x^2+y^2)] + sin(x^2 +y^2 )[ 1 -2xy] + 2y^2 cos(x^2+y^2) )$

$\frac{\partial^2 }{\partial y^2}f(x,y) = -2e^{-2xy}(sin(x^2+y^2)[1-4xy] + cos(x^2+y^2)[2y^2-2x^2])$

$\therefore$

$\frac{\partial^2 }{\partial y^2}f(x,y) = sin(x^2+y^2)[8xy-2]e^{-2xy} + cos(x^2+y^2)[4x^2-4y^2]e^{-2xy}$

OBS.: Recomendo este site : http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php?lang=pt-br para visualizar o latex antes de postar aqui .

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