Gradiente e taxa de variação

por **vinik1** » Qua Mai 09, 2012 17:25

O gradiente de uma função determina a máxima taxa de variação certo?
O vetor mostra a direção e o modulo (que poderia ser chamado de "intensidade"?) dessa variação.. certo?

e a taxa mínima? como encontrar?

por **LuizAquino** » Sex Mai 11, 2012 11:49

vinik1 escreveu:O gradiente de uma função determina a máxima taxa de variação certo?
O vetor mostra a direção e o modulo (que poderia ser chamado de "intensidade"?) dessa variação.. certo?

e a taxa mínima? como encontrar?

O vetor $\nabla f$ indica a direção e o sentido da maior variação, sendo que $\|\nabla f\|$ é o valor (a intensidade) dessa maior variação.

Por outro lado, o vetor $-\nabla f$ indica a direção e o sentido da menor variação, sendo que $-\|\nabla f\|$ é o valor (a intensidade) dessa menor variação.

por **vinik1** » Sex Mai 11, 2012 11:58

Certo...
A minha duvida era, se alterar o sinal, o modulo permanece o mesmo, entao a "intensidade" prevalece.
logo essa taxa na variação nao seria mínima, seria máxima em modulo, porem negativa.

Era isso que nao conseguia entender, mas de qualquer forma minha duvida foi resolvida. Muito obrigado.

por **LuizAquino** » Sex Mai 11, 2012 12:34

vinik1 escreveu:Certo...
A minha duvida era, se alterar o sinal, o modulo permanece o mesmo, entao a "intensidade" prevalece.
logo essa taxa na variação nao seria mínima, seria máxima em modulo, porem negativa.

Era isso que nao conseguia entender, mas de qualquer forma minha duvida foi resolvida. Muito obrigado.

A melhor forma de entender é analisar a definição de derivada direcional.

Você já deve saber que a derivada direcional de f na direção do vetor unitário $\vec{u}$ , que é representada por $D_{\vec{u}} f$ , é dada por:

$D_{\vec{u}} f = \nabla f \cdot \vec{u}$

Dos conhecimentos de Geometria Analítica, sabemos que se $\alpha$ é o ângulo formado entre os vetores $\nabla f$ e $\vec{u}$ , então temos que:

$\nabla f \cdot \vec{u} = \|\nabla f\|\|\vec{u}\|\cos \alpha$

Lembrando que $\|\vec{u}\|=1$ (já que o vetor é unitário), temos que:

$D_{\vec{u}} f = \| \nabla f\| \cos \alpha$

Dos conhecimentos de Trigonometria, sabemos que o máximo valor de $\cos \alpha$ é 1, enquanto que o mínimo é -1.

Sendo assim, o máximo valor que $D_{\vec{u}} f$ assume é $\| \nabla f\|$ , enquanto que o mínimo é $-\| \nabla f\|$ .

Além disso, para ocorrer $\cos \alpha = 1$ , precisamos de $\alpha = 0$ . Ou seja, para que $D_{\vec{u}} f$ seja máxima, os vetores $\nabla f$ e $\vec{u}$ devem possuir a mesma direção e sentido.

Por outro lado, para ocorrer $\cos \alpha = -1$ , precisamos de $\alpha = \pi$ . Ou seja, para que $D_{\vec{u}} f$ seja mínima, os vetores $\nabla f$ e $\vec{u}$ devem possuir a mesma direção e sentidos contrários.

Em resumo, temos que a maior variação ocorre na direção e sentido dados por $\nabla f$ , enquanto que a menor variação ocorre na direção e sentido dados por $-\nabla f$ .