Isso está certo ???

por **Guill** » Dom Abr 08, 2012 18:21

Gostaria de saber se essa forma de resolver a integral é válida:

$\int_{}^{}\frac{dx}{senx.cosx}$

$\int_{}^{}\frac{dx}{tgx.cos^2x}$

Considerando tgx = u, teremos dx = du.cos²x:

$\int_{}^{}\frac{cos^2x.du}{u.cos^2x}$

$\int_{}^{}\frac{du}{u} = ln(u)=ln(tgx)+C$

Posso resolver dessa forma ?? Se estiver errado, por favor, façam da forma correta.

por **nietzsche** » Dom Abr 08, 2012 18:57

Não está correto.
"Considerando tgx = u, teremos dx = du.cos²x" : Se u=sex/cos x, então du/dx ? cos²x.
Outra coisa, se você mudou a variável de integração, você precisa trocar todas as variáveis x por alguma função de um, ou seja, x "some" do integrando.

por **Guill** » Dom Abr 08, 2012 19:00

nietzsche escreveu:Considerando tgx = u, teremos dx = du.cos²x" : Se u=sex/cos x, então du/dx ? cos²x.

Não é mesmo. É por isso que eu acredito que esteja ceto:

Se u=sex/cos x, então du/dx = 1/cos²x

por **fraol** » Dom Abr 08, 2012 19:04

No meu entendimento a solução de Guill está correta. O que poderia ser complementado é a resposta em termos de senx

e

pela diferença dos logaritmos.

por **nietzsche** » Dom Abr 08, 2012 19:08

Desculpe, está certo essa passagem:
" "Considerando tgx = u, teremos dx = du.cos²x" : Se u=sen x/cos x, então du/dx ? cos²x. "

É isso mesmo, du/dx = 1/ cos²x.

Mas quando vc muda a variável vc não pode fazer isso:
$\int_{}^{}\frac{cos^2x.du}{u.cos^2x}$

Não pode aparecer o x, pois contaria o teorema da mudança de variáveis.

por **nietzsche** » Dom Abr 08, 2012 19:20

Enunciado do teorema a que me refiro:

Let I $\subseteq{\mathbb{R}}$ be an interval and g : [a,b] $\to$ I be a continuously differentiable function. Suppose that f : I $\to \mathbb{R}$ is a continuous function. Then

$\int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,dx = \int_a^b f(g(t))g'(t)\, dt.$

fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Integratio ... bstitution

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