Alguem pode me ajudar com este exercício?

por **phvicari** » Sáb Fev 18, 2012 16:19

Olá, pessoal, estou com um exercício na mão aqui envolvendo função logarítimica, alguem poderia me ajudar com a parte inicial dele?

Aqui vai:

Considere a curva , onde "l" é a reta que passa pela origem e é tangente à curva no ponto "P". Considere também uma reta qualquer "m", perpendicular a "l" no ponto de tangencia "P".

Pergunta: Considerando que a cordenada x de P (Px) seja "t", o valor de é?

PS: A resposta é que "t" vale

, portanto ln (t)

é 1, mas não consigo de forma alguma chegar nesse valor para "t", alguem poderia me ajudar?

por **LuizAquino** » Sáb Fev 18, 2012 17:31

phvicari escreveu:Considere a curva $y=2 \ln(x)$ , onde "l" é a reta que passa pela origem e é tangente à curva no ponto "P". Considere também uma reta qualquer "m", perpendicular a "l" no ponto de tangencia "P".

Pergunta: Considerando que a cordenada x de P (Px) seja "t", o valor de ln (t) é?

Sabemos que a reta tangente a função f(x) no ponto P=(t, f(t)) é dada por:

$y - f(t) = f^{\prime}(t)(x - t)$

Como deseja-se que essa reta passe pela origem, o ponto x=0 e y=0 deve satisfazer essa equação. Ou seja, devemos ter:

$- f(t) = -tf^{\prime}(t)$

No exercício, temos que $f(x)=2\ln x$ . Lembrando que $f^\prime(x) = \frac{2}{x}$ , temos que a equação anterior será equivalente a:

$- 2\ln t = - t\left(\frac{2}{t}\right)$

Agora tente terminar o exercício.