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[Equação diferencial] Problema de valor inicial

[Equação diferencial] Problema de valor inicial

Mensagempor Aliocha Karamazov » Qua Fev 15, 2012 23:34

Pessoal, o exercício é o sequinte. E segue, abaixo, minha tentativa.

Resolva o problema de valor inicial.
ty\prime+2y=4t^2
y(1)=2

Eu comeceu divindo tudo por t:

y\prime +\frac{2y}{t}=4t

Agora, preciso encontrar o fator integrante, que é a função \mu(t). Como está no livro, é preciso multiplica a equação por \mu(t), o que dá:


\mu(t)y\prime +\mu(t)\frac{2y}{t}=\mu(t)4t

Agora, eu preciso encontrar uma função \mu(t) tal que [\mu(t)y]\prime=\mu(t)y\prime+\mu\prime(t)y=\mu(t)y\prime +\mu(t)\frac{2y}{t}

Bem, isso se resume a encontrar \mu(t) tal que

\frac{du(t)}{dt}=\mu(t)\frac{2}{t}. Eu fiz dessa maneira:

\frac{d\mu(t)/dt}{\mu(t)}=\frac{2}{t}

Como ln|\mu(t)|=\frac{d\mu(t)/dt}{\mu(t)}, temos que ln|\mu(t)|=\frac{2}{t} \Rightarrow \mu(t)=e^{\frac{2}{t}

No entanto, no livro, está que \mu(t)=t^2

Alguém poderia me ajudar, dizendo onde e por que errei? Agradeço desde já.
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Re: [Equação diferencial] Problema de valor inicial

Mensagempor MarceloFantini » Qui Fev 16, 2012 01:42

Seu erro está aqui: \frac{d \mu(t) dt}{\mu(t)} = 2 \frac{1}{t} \implies \ln |\mu(t)| = 2 \frac{t}. Você deve colocar dt do outro lado e integrar os dois lados da equação, não apenas um. Veja:

\frac{d \mu(t)}{\mu(t)} = 2 \frac{dt}{t} \implies \int \frac{d \mu(t)}{\mu(t)} = 2 \int \frac{dt}{t} \implies \ln |\mu(t)| = 2 \ln |t| =
= \ln t^2.

Daí, \mu(t) = t^2. Acredito que esteja faltando uma constante também.
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Re: [Equação diferencial] Problema de valor inicial

Mensagempor Aliocha Karamazov » Qui Fev 23, 2012 23:43

Entendi meu erro. Obrigado pela ajuda.
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Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: Balanar - Seg Ago 09, 2010 04:01

Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: MarceloFantini - Qua Ago 11, 2010 05:46

É só fazer a dica.


Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: Soprano - Sex Mar 04, 2016 09:49

Olá,

O resultado é igual a 1, certo?