Integral indefinida. Como resolver?

por **Cristiano Tavares** » Sex Nov 25, 2011 22:54

Olá a todos,

Estou precisando de uma dica sobre como resolver a integral $\int_{}^{}du / \sqrt[2]{{u}^{2}-{a}^{2}}$ . Sei que a resposta é $ln \left|u + \sqrt[2]{{u}^{2}-{a}^{2}} \right|+C$ , mas não sei como chegar a essa expressão. Desde já agradeço a atenção dispensada por todos.

por **LuizAquino** » Sáb Nov 26, 2011 08:05

Cristiano Tavares escreveu:Estou precisando de uma dica sobre como resolver a integral $\int_{}^{}du / \sqrt[2]{{u}^{2}-{a}^{2}}$ . Sei que a resposta é $\ln \left|u + \sqrt[2]{{u}^{2}-{a}^{2}} \right|+C$ , mas não sei como chegar a essa expressão

Para conferir a resolução, siga os procedimentos abaixo.

Acesse a página: http://www.wolframalpha.com/
No campo de entrada, digite:
Código: Selecionar todos
integrate 1/sqrt(u^2 - a^2) du
Clique no botão de igual ao lado do campo de entrada.
Após a integral ser calculada, clique no botão "Show steps" ao lado do resultado.
Pronto! Agora basta estudar a resolução e comparar com a sua.

por **Cristiano Tavares** » Sáb Nov 26, 2011 08:56

Luiz Aquino,

Obrigado pela resposta, o site indicado por você é excelente. Resolvi a integral, mas ainda ficou uma dúvida. Na demonstração do site, ao final aparece o logaritmo ln todo dividido por "a", e aí é dito que para valores restritos de "u" e "a", esse "a" pode ser eliminado da expressão, não entendi o porquê disso. Resolvi a integral sozinho e encontrei como resposta $\frac{1}{a}ln\left|u + \sqrt[2]{{u}^{2}-{a}^{2}} \right|$ .

Obrigado e um abraço,

Cristiano Tavares

por **LuizAquino** » Sáb Nov 26, 2011 16:14

Cristiano Tavares escreveu:Na demonstração do site, ao final aparece o logaritmo ln todo dividido por "a", e aí é dito que para valores restritos de "u" e "a", esse "a" pode ser eliminado da expressão, não entendi o porquê disso.

Eis o final que aparece no site:

(...)

$= \log\left(\frac{u \left(\sqrt{1-\frac{a^2}{u^2}}+1\right)}{a}\right)+\textrm{constant}$

Which is equivalent for restricted u and a values to:

$= \log \left(\sqrt{u^2-a^2}+u\right)+\textrm{constant}$

----------
$\log (x)$ is the natural logarithm.

Fazendo a restrição a > 0 e usando as propriedades de logaritmos, temos que:

$= \log \left(u \left(\sqrt{1-\frac{a^2}{u^2}}+1\right)\right) - \log a + \textrm{constant}$

Note que a expressão $- \log a + \textrm{constant}$ representa uma outra constante real. Vamos chamar essa outra constante de c. Sendo assim, temos que:

$= \log \left(u \left(\sqrt{1-\frac{a^2}{u^2}}+1\right)\right) + c$

Efetuando a subtração que há dentro da raiz, temos que:

$= \log \left(u \left(\sqrt{\frac{u^2 - a^2}{u^2}}+1\right)\right) + c$

Fazendo a restrição u > a (lembrando que já fizemos também a restrição a > 0), temos que:

$= \log \left(u \left(\frac{\sqrt{u^2 - a^2}}{u}+1\right)\right) + c$

$= \log \left(\sqrt{u^2 - a^2}+u\right)\right) + c$