Limite Notável-Como provar?

por **joaofonseca** » Dom Out 30, 2011 20:19

Calcule a derivada da função exponencial a^x

, utilizando a definição de derivada.
Eu comecei assim:

$\frac{d}{d_{x}}\hspace{5}a^x=\lim_{h \mapsto 0}\left [\frac{a^{x+h}-a^x}{h} \right ]$

Mas chega a um ponto em que fico com:

$\frac{d}{d_{x}}=a^x \cdot \lim_{h \mapsto 0} \left [ \frac{a^h-1}{h} \right ]$

Eu sei que esta parte é igual a ln a

. Mas como eu posso demonstrar isso, utilizando principios básicos de Algebra e as propriedades dos exponenciais e logaritmos?

por **Aliocha Karamazov** » Seg Out 31, 2011 13:16

Como a variável é h, a^x

é uma constante e, portanto, você pode "tirar" de limite.

A sua dúvida, então, é calcular $\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h}$

Dessa forma, é difícil mesmo calcular. Precisamos utilizar algum artifício.

Vamos fazer $u=a^{h}-1$ . Perceba que, quando $h\to0, a^{h}\to1$ (quando h tende a zero, $a^{h}$ tende a 1, pois qualquer número real elevado a zero é igual a 1).

Dessa forma, $a^{h}-1}=u\to0$

Podemos escrever:

$\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h}=\lim_{u\to0}\frac{u}{h}$ .

Agora, precisamos escrever h em função da nova variável u que nós colocamos. Note que:

$u=a^{h}-1 \Rightarrow u+1=a^{h}$ .

Podemos aplicar a função logrtitmo natural em ambos os lados da equação:

$\ln(1+u)=\ln a^{h} \Rightarrow \ln(1+u)=h \ln a \Rightarrow h=\frac{\ln(1+u)}{\ln a}$

Note que utilizei uma propriedade logaritmica conhecida como "regra do tombo". Se tiver alguma dúvida, revise isso.

Segue-se que:

$\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h}=\lim_{u\to0}\frac{u}{h}=\lim_{u\to0}\frac{u}{\frac{\ln(1+u)}{\ln a}}=\lim_{u\to0}\frac{u}{\ln(1+u)}\ln a=\ln a\lim_{u\to0}\frac{u}{\ln(1+u)}$

Perceba que $\ln a$ "saiu" do limite também. Precisamos mostrar, agora, que $\lim_{u\to0}\frac{u}{\ln(1+u)}=1$

Vamos dividir tanto o numerador como o denominador por {u}

, o que não muda o valor do nosso limite. Temos, então:

$\lim_{u\to0}\frac{u}{\ln(1+u)}=\lim_{u\to0}\frac{1}{\frac{1}{u}\ln(1+u)} \Rightarrow \lim_{u\to0}\frac{1}{\ln(1+u)^{\frac{1}{u}}}$ .

Novamente, utilizamos a "regra do tombo". Na verdadem, fizemos o inverso da "regra do tombo", pois colocamos o número que multiplica o expoente para o logaritmo.

Estamos no fim, só precisamos de mais um resultado. Vou "dar" o resultado, cuja demonstração é simples, para não deixar minha postagem ainda mais extensa. Assumindo que isso é verdade, terminamos nossa demonstração. Se você tiver compreendido tudo que eu fiz até agora, me avise que eu demonstro o que vou dizer a seguir (ou tente você mesmo). A informação é a seguinte:

$\lim_{u\to0}(1+u)^{\frac{1}{u}}=e$

Com isso, temos que:

$\lim_{u\to0}\frac{1}{\ln(1+u)^{\frac{1}{u}}}=\frac{1}{\ln e}=1$ , pois ${\ln e}=1$

Conluímos, então, que $\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h}=\ln a$

Talvez eu tenha "explicado demais". Nos livros de cálculo, isso é bem mais direto. Mas eu fiz assumindo que você não conhecia nenhum resultado utilizado. Avise se teve dúvida em algum ponto, que eu explico.

por **LuizAquino** » Seg Out 31, 2011 15:33

Aliocha Karamazov,

O procedimento é mais ou menos como você falou. E não se preocupe, pois ele é extenso assim mesmo.

Entretanto, é necessário fazer algumas observações.

Encare essas observações como dicas, para que em outra situação (como em uma avaliação) você não perca alguns pontos por isso.

Aliocha Karamazov escreveu:(...) qualquer número real elevado a zero é igual a 1 (...)

Isso é falso. O correto é dizer algo como: qualquer número real (exceto o zero) elevado a zero é igual a 1.

Aliocha Karamazov escreveu:Vamos fazer $u=a^{h}-1$
(...)
$\lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1}{h}=\lim_{u\to 0}\frac{u}{h}$

Quando é feita a mudança de variável, a variável "antiga" não deve mais aparecer na expressão do "novo" limite. Sendo assim, o correto seria você já ter feito:

$\lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1}{h}=\lim_{u\to 0}\frac{u}{\frac{\ln(u+1)}{\ln a}}$

Percebe-se que a sua ideia era detalhar a explicação. Nesse caso, o adequado seria primeiro você ter exibido como isolar o h e depois efetuar a substituição.

por **Aliocha Karamazov** » Seg Out 31, 2011 17:54

LuizAquino escreveu:Quando é feita a mudança de variável, a variável "antiga" não deve mais aparecer na expressão do "novo" limite. Sendo assim, o correto seria você já ter feito:

$\lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1}{h}=\lim_{u\to 0}\frac{u}{\frac{\ln(u+1)}{\ln a}}$

Percebe-se que a sua ideia era detalhar a explicação. Nesse caso, o adequado seria primeiro você ter exibido como isolar o h e depois efetuar a substituição.

Eu pensei nisso. Mas achei que ficaria mais complicado.

Obrigado pelas dicas.