[Cálculo] Convergência de Sequências

por **Renato_RJ** » Qua Ago 31, 2011 12:47

Bom dia amigos !!!

Estive sumido do fórum por motivos pessoais, mas estou voltando aos poucos.. rss..

Gostaria da ajuda dos amigos para solucionar um problema da minha aula de cálculo 2, segue abaixo:

Tenha uma sequência qualquer a_n

tal que $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L$ , tenhamos a função

$\varphi: \mathbb{N} \, \Rightarrow \, \mathbb{N}$ uma bijeção. Agora tenhamos uma sequência b_n

tal que:

$b_n = a_{\varphi(n)}$

Afirmação: $\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = L$

Não consigo provar a afirmação, eu estou tentando usar a definição formal de limite, entendo que a bijeção vai trocar os elementos da série de posição, mas não consigo provar que essa alteração não altera o valor do limite. Alguém tem alguma dica para que eu possa continuar o problema ?

Desde já agradeço,
Renato.

por **nietzsche** » Qua Ago 31, 2011 19:39

olá renato,
eu pensei no seguinte: se an converge para todo n suficientemente grande, então se pegarmos uma parte desses n termos (que é a fi aplicada neles), a seuqnência formada é uma subsequência dos an, portanto também converge, pois toda subsequência duma sequÊncia que converge converge. depois tento fazer no papel.

até mais.

por **Renato_RJ** » Qui Set 01, 2011 01:36

Interessante a tua dica...

O meu problema é provar que existe m > n tal que |bn - L|< $\epsilon$ ....

por **nietzsche** » Sex Set 02, 2011 00:24

Acho que você confundiu o "m>n" da definição de limite duma sequência.

Olha minha demonstração para o problema.

Queremos provar que dado $\epsilon$ > 0, existe m>0, tal que,
se n > m, então $|b_n=a_{\varphi(n)} - L| < \epsilon$ . (*)

Sabemos que para todo $\epsilon$ > 0, existe M>0, tal que,
se n > M, então $|a_n - L| < \epsilon$ .

Como $\varphi$ é uma bijeção, temos uma correspondência um a um entre ${\varphi}_{(n)}$ e n, para todo n natural. Ou seja que $b_n=a_{\varphi(n)}$ e an tem o mesmo número de termos. Tomando m = M teremos que a partir de n>M a linha (*) acontece, que é o mesmo que $\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = L$ .

por **LuizAquino** » Sex Set 02, 2011 20:45

nietzsche escreveu:Queremos provar que dado $\epsilon$ > 0, existe m>0, tal que,
se n > m, então $|b_n=a_{\varphi(n)} - L| < \epsilon$ . (*)

Ok. Mas o abuso de notação com a igualdade pode confundir. Pode dar a impressão de que $b_n=a_{\varphi(n)} - L$ ao invés de $b_n=a_{\varphi(n)}$ como diz o exercício. Eu acredito que seria mais interessante colocar apenas $|b_n - L| < \epsilon$ .

nietzsche escreveu:Sabemos que para todo $\epsilon$ > 0, existe M>0, tal que,
se n > M, então $|a_n - L| < \epsilon$ .

Ok.

nietzsche escreveu:Como $\varphi$ é uma bijeção, temos uma correspondência um a um entre ${\varphi}_{(n)}$ e n, para todo n natural.

Ok.

nietzsche escreveu:Ou seja que $b_n=a_{\varphi(n)}$ e an tem o mesmo número de termos.

Ok.

nietzsche escreveu:Tomando m = M teremos que a partir de n>M a linha (*) acontece (...)

Aqui há um problema. Veja que na bijeção $\varphi(n)$ nada garante que se i < j temos $\varphi(i) < \varphi(j)$ . Nesse caso, nem todos os termos a partir de M necessariamente tornam (*) verdadeira.

Vamos então dividir em duas situações.

(Caso 1) $\varphi$ é tal que se i < j temos $\varphi(i) < \varphi(j)$ .

Como $\varphi$ é bijeção entre os naturais, dado M natural existe n* também natural tal que $\varphi(n^*) = M$ .

Tomando-se agora n > n*, temos $\varphi(n) > \varphi(n^*) = M$ e pela hipótese da convergência de a_n

segue que $|b_n - L| = |a_{\varphi(n)} - L| < \varepsilon$ .

(Caso 2) $\varphi$ é tal que existem i e j, com i < j, para os quais $\varphi(i) > \varphi(j)$ .

De modo análogo ao que justificamos antes, dado M natural existe n* também natural tal que $\varphi(n^*) = M$ .

Pelo fato de $\varphi$ ser bijeção entre os naturais, podemos afirmar que existem finitos naturais i tais que $\varphi(n^* + i) < M$ . Seja i* o maior dos naturais que torna essa desigualdade verdadeira. Façamos m = n* + i*.

Para n > m teremos que $\varphi(n) > M$ , portanto pela hipótese da convergência de a_n

segue que $|b_n - L| = |a_{\varphi(n)} - L| < \varepsilon$ .

por **Renato_RJ** » Sáb Set 03, 2011 03:53

Obrigado a ambos pela ajuda !!!

Eu estava atrapalhado com a bijeção, muito grato mesmo.. Entendi exatamente o que fazer neste caso, vou tentar escrever com as minhas palavras.

Abraços,
Renato.