integral trigonometrica

por **paula luna** » Qua Ago 24, 2011 21:38

Oi minha resposta nao esta de acordo com o gabarito, alguem pode corrigir minha resoluçao por favor.

Questao:
$\int_{}^{}\frac{{e}^{x}}{\sqrt[2]{{e}^{2x}+1}}dx$

Relaçoes:
$\sqrt[2]{{e}^{2x}+1}$

$sec(\theta)$
${e}^{x} = tg(\theta)$
$dx = {sec}^{2}(\theta)d\theta$

Resoluçao:
$\int_{}^{}\frac{tg(\theta).{sec}^{2}(\theta)}{sec(\theta)}d\theta = \int_{}^{} tg(\theta).sec(\theta)d\theta = sec(\theta) = \sqrt[2]{{e}^{2x}+1} + C$

Resposta certa:
$ln\left| \sqrt[2]{{e}^{2x}+1} + {e}^{x}\right| + C$

Bem percebi que no final da resoluçao deveria ter sido $\int_{}^{} sec(\theta)d\theta$ ,mas nao sei que parte da minha resoluçao esta errada

por **LuizAquino** » Qua Ago 24, 2011 23:38

paula luna escreveu:mas nao sei que parte da minha resoluçao esta errada

paula luna escreveu: ${e}^{x} = tg(\theta)$
$dx = {sec}^{2}(\theta)d\theta$

Dada a substituição escolhida, o correto seria:
$e^x\,dx = \sec^{2}\theta\,d\theta$

por **paula luna** » Qui Ago 25, 2011 00:36

Sim, faz sentido pensar nisto à partir da gabarito, no entanto continuo sem entender o porque desta relaçao. Eu estou usando Stewart pra estudar e la ele explica, segundo o que eu entendi, que em uma questao (destas sobre subst. trigon.) deve-se proceder assim:

Caso seja $\sqrt[]{{x}^{2}+{a}^{2}}$ ( onde o ''x'' representa a variavel da questao e "a" uma constante ):

- $\sqrt[]{{x}^{2}+{a}^{2}}$

$a.sec(\theta)$
- x =

$a.tg(\theta)$
- $dx = a.{sec}^{2}(\theta)d\theta$

(tem outros dois casos, mas nao ha necessidade de botar aqui)

Bem foi o que eu fiz na questao. Pode talvez ser por se tratar de exponencial e por isso nao estou sabendo como fazer a subst.

por **LuizAquino** » Qui Ago 25, 2011 08:07

paula luna escreveu:Sim, faz sentido pensar nisto à partir da gabarito, no entanto continuo sem entender o porque desta relaçao. Eu estou usando Stewart pra estudar e la ele explica, segundo o que eu entendi, que em uma questao (destas sobre subst. trigon.) deve-se proceder assim:

Caso seja $\sqrt[]{{x}^{2}+{a}^{2}}$ ( onde o ''x'' representa a variavel da questao e "a" uma constante ):

$\sqrt[]{{x}^{2}+{a}^{2}} = a.sec(\theta)$
$x = a.tg(\theta)$
$dx = a.{sec}^{2}(\theta)d\theta$

Você não compreendeu como funciona a técnica de substituição. Veja que não estou me referindo a substituição trigonométrica, mas sim a técnica geral de substituição. Eu recomendo que você volte na seção do livro onde explica essa técnica.

Após fazermos $x = a \,\textrm{tg}\,\theta$ precisamos derivar ambos os membros da equação. Acontece que $(x)^\prime = 1$ . Além disso, temos que $(a\,\textrm{tg}\,\theta)^\prime = a\sec^2 \theta$ . Colocando agora os termos diferenciais (isto é,

e $d\theta$ ), ficamos com $1dx = a \sec^2 \theta\,d\theta$ , ou seja, $dx = a \sec^2 \theta\,d\theta$ .

Agora, aplique a mesma ideia considerando que a substituição é $e^x = \,\textrm{tg}\,\theta$ .

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