função continua

por **alexandreredefor** » Dom Jul 17, 2011 18:23

PARA QUAIS VALORES DE X A FUNÇÃO G É CONTINUA?

G(X)= {0, SE X É RACIONAL
{ X, SE X É IRRACIONAL

obs: não consegui utilizar uma chave só.

tive uma prova e não consegui resolver vou ter prova substituta sera que pode me auxiliar...
ou me indicar algum video que tem o assunto

por **Molina** » Dom Jul 17, 2011 22:26

Boa noite, Alexandre.

Vou dar a ideia de como eu pensaria nesta questão e quero ver se você chega a mesma conclusão que eu:

Se imaginarmos os números reais como uma reta, teremos que cada ponto que forma esta reta são os números reais. Alguns pontos são os racionais e outros pontos são os irracionais. A união dos dois conjuntos de pontos formará a reta ( $Q\cup I = R$ ). Se retirarmos, por exemplo, os números irracionais será possível observar alguns "buracos" nesta reta. O restante que permanece na reta são os números racionais.

Um esboço disso seria:
______ _______ ____ _ ___ ____ _____________ ___ _ ____________ _ _____ ______________ _ _ ____

Colocando este esboço num sistema de coordenadas xy e esta reta com buracos sobre o eixo x, representaria parte do nosso problema em questão, pois para todo número racional, temos que a função vale 0. Falta saber o que fazer com esses pontos que retiramos.

Lembre-se que para uma função ser contínua ela não tem "buracos", ou seja, temos que desenhar toda a função "sem tirar o lápis do papel".

Então, quais os valores que esses pontos com "buracos" devem assumir para que esses "buracos" não existam mais sobre esta reta?

:idea:

por **MarceloFantini** » Seg Jul 18, 2011 02:37

É impossível esboçar essa função, visto que todo intervalo real contém um número infinitos de números racionais e irracionais.

por **LuizAquino** » Seg Jul 18, 2011 11:11

Temos a função:

$g(x) = \begin{cases} 0, \textrm{ se } x \textrm{ \'e racional.} \\ x, \textrm{ se } x \textrm{ \'e irracional.} \end{cases}$

Note que $-|x| \leq g(x) \leq |x|$ .

Como $\lim_{x\to 0} -|x| = \lim_{x\to 0} |x| = 0$ , pelo Teorema do Sanduíche segue que $\lim_{x\to 0} g(x) = 0$ . Por outro lado, sabemos que g(0) = 0.

Portanto, $\lim_{x\to 0} g(x) = g(0)$ . Isso é o mesmo que dizer que g é contínua em x = 0.

Tome agora qualquer real $c\neq 0$ e qualquer real $\delta > 0$ . No intervalo $(a-\delta,\, a + \delta)$ existem infinitos racionais e infinitos irracionais.

Considere que c seja irracional. Existem infinitos x racionais tais que $0 < |x-c| < \delta$ e $|g(x) - g(c)| = |c| > \frac{|c|}{2}$ .

Por outro lado, considere que c seja racional. Existem infinitos x irracionais tais que $0 < |x-c| < \delta$ e $|g(x) - g(c)| = |x| > |c| > \frac{|c|}{2}$ .

Em resumo: existem infinitos números x tais que $0 < |x-c| < \delta$ e $|g(x) - g(c)| > \frac{|c|}{2}$ .

Logo, $\lim_{x\to c} g(x) \neq g(c)$ . Isso é o mesmo que dizer que g não é contínua em x = c (lembrando-se que tomamos qualquer real $c\neq 0$ ).

A conclusão final disso tudo é que a função g é contínua apenas para x = 0.

Observação

alexandreredefor escreveu:obs: não consegui utilizar uma chave só.

Para colocar apenas uma chave, use o comando LaTeX:

Código: Selecionar todos: [tex]\begin{cases} caso_1 \\ caso_2 \\ caso_3 \\ \vdots \end{cases}[/tex]

O resultado desse comando é:
$\begin{cases} caso_1 \\ caso_2 \\ caso_3 \\ \vdots \end{cases}$

por **Molina** » Seg Jul 18, 2011 11:42

Bom dia!

MarceloFantini escreveu:É impossível esboçar essa função, visto que todo intervalo real contém um número infinitos de números racionais e irracionais.

Um esboço seria desenhar uma retas com alguns buracos, representando apenas os números racionais e os faltantes seriam os números irracionais.

Este esboço seria apenas para chegar a conclusão que para ser contínua, g(irracionais)=0

.

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