Função derivável no ponto

[Lilica]

Dê um exemplo de uma função f:R-R que é derivável em todos os pontos, exceto em x = 0 e x = 1.
Minha dúvida é a seguinte, encontrei uma função que não é derivável em 1 e 0, mas como posso provar que a mesma será derivável para todos os outros pontos?

[LuizAquino]

Qual foi a função que você encontrou?

A ideia nesses exercícios é começar com uma função que sabemos ser derivável em todos os seus pontos. Em seguida, manipulamos essa função de modo a ela ficar não diferenciável nos pontos desejados.

[Lilica]

Eu pensei nesta função:

f (x);
x+1 x<0
2x 0?x<1
x+2 se x?1

Conclui através das derivadas laterais que a mesma não é derivável em 1 nem em 0, mas não me garante que seja derivável em todos os outros pontos. Qual seria a sua idéia?

[LuizAquino]

Note que a sua função é formada por três pedaços, cada um sendo uma porção de reta. Ora, uma função do tipo (a e b constantes reais) é derivável em todos os pontos de seu domínio! (Se você quiser, facilmente pode demonstrar isso.)

Por exemplo, a função h(x) = x + 1 é derivável em todos os pontos de seu domínio (que seria o conjunto dos números reais). É claro que é um subconjunto do domínio de h, portanto ela é derivável nele. Em resumo, h é derivável para x < 0.

Observação
Para provar que a sua função é diferenciável em todos os seus pontos, exceto em 0 e 1, você terá que provar que o limite existe para três casos distintos:
(i) a < 0
(ii) 0 < a < 1
(iii) a > 1