por EulaCarrara » Dom Jun 26, 2011 21:09
Um objeto tem forma esférica com raio de 10cm. Sua massa é desigualmente distribuída pelo volume, sendo que a densidade é máxima igual a 5g/cm³ no centro e decai proporcionalmente à distância do centro, chegando a zero na superfície. Encontre a massa do objeto.

-
EulaCarrara
- Usuário Ativo

-
- Mensagens: 19
- Registrado em: Seg Abr 19, 2010 21:21
- Formação Escolar: GRADUAÇÃO
- Área/Curso: Zootecnia
- Andamento: cursando
por MarceloFantini » Dom Jun 26, 2011 21:49
Não tenho muito domínio sobre o assunto, então não posso afirmar com certeza sobre a resposta. Primeiro, sabemos que a massa será dada por:

Como o objeto é esférico, isso me sugere utilizar coordenadas esféricas. Não sabemos a densidade, mas pelos dados do enunciado eu pensaria em algo da seguinte forma:

Quando a distância ao centro é zero a densidade é 5 e na superfície a densidade é zero. Note que não depende dos ângulos. Portanto, acredito que fique assim:

Agora o problema é basicamente resolver esta integral tripla. Quero lembrar que não tenho certeza do raciocínio, mas eu pensaria assim.
Futuro MATEMÁTICO
-
MarceloFantini
- Colaborador Moderador

-
- Mensagens: 3126
- Registrado em: Seg Dez 14, 2009 11:41
- Formação Escolar: GRADUAÇÃO
- Andamento: formado
por LuizAquino » Seg Jun 27, 2011 11:14
Prezados,
Seja

a densidade de massa no ponto

.
Suponha que a esfera está centrada na origem do sistema.
Queremos que:
(i)

;
(ii)

, com

um ponto sobre a esfera;
(iii)

decai proporcionalmente à distância do centro.
Para simplificar, considere que
d é a distância do ponto

ao centro da esfera. Podemos reescrever (i), (ii) e (iii) como:
(i*)

;
(ii*)

;
(iii*)

, com
k e
m constantes reais.
Disso, obtemos:

.
Mas, isso é o mesmo que:

.
Sendo assim, lembrando-se da simetria da esfera, podemos calcular a sua massa por:

Em coordenadas esféricas, essa integral pode ser reescrita como:

-

LuizAquino
- Colaborador Moderador - Professor

-
- Mensagens: 2654
- Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
- Localização: Teófilo Otoni - MG
- Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
- Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
- Andamento: formado
-
por MarceloFantini » Seg Jun 27, 2011 11:23
Bom, esqueci do

mas a resposta é a mesma do Luiz Aquino. O número 8 está ali apenas para deixar os limites de integração mais bonitinhos, haha.
Futuro MATEMÁTICO
-
MarceloFantini
- Colaborador Moderador

-
- Mensagens: 3126
- Registrado em: Seg Dez 14, 2009 11:41
- Formação Escolar: GRADUAÇÃO
- Andamento: formado
por LuizAquino » Seg Jun 27, 2011 11:54
MarceloFantini escreveu:Bom, esqueci do

mas a resposta é a mesma do Luiz Aquino.
Pois é. Bastava ter escrito algo como

ao invés de

.
MarceloFantini escreveu:O número 8 está ali apenas para deixar os limites de integração mais bonitinhos, haha.

-

LuizAquino
- Colaborador Moderador - Professor

-
- Mensagens: 2654
- Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
- Localização: Teófilo Otoni - MG
- Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
- Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
- Andamento: formado
-
por EulaCarrara » Seg Jun 27, 2011 23:24
Muito Obrigada!!

-
EulaCarrara
- Usuário Ativo

-
- Mensagens: 19
- Registrado em: Seg Abr 19, 2010 21:21
- Formação Escolar: GRADUAÇÃO
- Área/Curso: Zootecnia
- Andamento: cursando
Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
Se chegou até aqui, provavelmente tenha interesse pelos tópicos relacionados abaixo.
Aproveite a leitura. Bons estudos!
-
- [Integrais Multiplas] Volume do solido
por brunojorge29 » Ter Nov 27, 2012 01:55
- 2 Respostas
- 3767 Exibições
- Última mensagem por Guilherme Pimentel

Seg Jan 13, 2014 09:05
Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
-
- [Integrais múltiplas] Achar a função, o volume, e a area su
por brunojorge29 » Dom Out 14, 2012 11:19
- 11 Respostas
- 9021 Exibições
- Última mensagem por young_jedi

Qua Out 24, 2012 16:09
Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
-
- [Derivadas] Escolhas múltiplas
por fff » Qua Mar 12, 2014 19:26
- 1 Respostas
- 2155 Exibições
- Última mensagem por Russman

Qua Mar 12, 2014 21:42
Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
-
- Calcular a Significância (p<0.05) com Múltiplas Variáveis
por guispfilho » Sex Set 02, 2016 19:41
- 0 Respostas
- 5520 Exibições
- Última mensagem por guispfilho

Sex Set 02, 2016 19:41
Estatística
-
- Cálculo de um paralelpípedo usando difereciais multiplas
por Fernandobertolaccini » Seg Jan 05, 2015 08:38
- 0 Respostas
- 2681 Exibições
- Última mensagem por Fernandobertolaccini

Seg Jan 05, 2015 08:38
Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 4 visitantes
Assunto:
[Função] do primeiro grau e quadratica
Autor:
Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20
1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?
2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?
3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?
Assunto:
[Função] do primeiro grau e quadratica
Autor:
Neperiano - Sáb Out 01, 2011 19:46
Ola
Qual as suas dúvidas?
O que você não está conseguindo fazer?
Nos mostre para podermos ajudar
Atenciosamente
Assunto:
[Função] do primeiro grau e quadratica
Autor:
joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15
1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.
Em

substitui-se
m, substitui-se
y e
x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a
b.
2)Na equação

não existem zeros.Senão vejamos
Completando o quadrado,
As coordenadas do vertice da parabola são
O eixo de simetria é a reta

.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.
f(-7)=93
f(10)=59
Powered by phpBB © phpBB Group.
phpBB Mobile / SEO by Artodia.