Derivadas - dúvidas

por **[icaro]** » Sáb Mai 21, 2011 19:06

Não estou conseguindo resolver as seguintes derivadas:

A) $f(a)=\frac{{e}^{-a²}}{(1+a²)²}$
B) $f(x)= (x²+1){e}^{\frac{x³+x²}{x²+1}}$
c) $f(x)= ln(\frac{1}{x}+\frac{1}{x²})$

Tentei, mas só chego em resultados errados :n:

por **LuizAquino** » Dom Mai 22, 2011 11:30

Primeiro, vamos arrumar o que você escreveu:
a) $f(a)=\frac{{e}^{-a^2}}{\left(1+a^2\right)^2}$

b) $f(x)= (x^2+1){e}^{\frac{x^3+x^2}{x^2+1}}$

c) $f(x)= \ln\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)$

Vale destacar que o seu erro ao usar o LaTeX foi escrever x² e x³ ao invés de x^2 e x^3. Ou seja: não use os atalhos de teclado para escrever as potências.

Quanto aos exercícios, quais foram as suas dificuldades ao resolver essas derivadas?

Muito provavelmente você está errando a aplicação da regra da cadeia.

Veja, por exemplo, a solução do primeiro exercício:
$f^\prime(a)=\frac{\left({e}^{-a^2}\right)^\prime \left(1+a^2\right)^2 - {e}^{-a^2}\left[\left(1+a^2\right)^2\right]^\prime}{\left[\left(1+a^2\right)^2\right]^2}$

$f^\prime(a)=\frac{{e}^{-a^2}\left(-a^2\right)^\prime \left(1+a^2\right)^2 - 2{e}^{-a^2}\left(1+a^2\right)\left(1+a^2\right)^\prime}{\left(1+a^2\right)^4}$

$f^\prime(a)=\frac{-2a{e}^{-a^2}\left(1+a^2\right)^2 - 4a{e}^{-a^2}\left(1+a^2\right)}{\left(1+a^2\right)^4}$

$f^\prime(a)=\frac{-2a{e}^{-a^2}\left(1+a^2\right) - 4a{e}^{-a^2}}{\left(1+a^2\right)^3}$

$f^\prime(a)=\frac{-2a{e}^{-a^2}\left(3+a^2\right)}{\left(1+a^2\right)^3}$

por **[icaro]** » Dom Mai 22, 2011 12:54

Eu comecei atribuindo ${-a}^{2}$ como "u" e utilizei os operadores $\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\frac{du}{dx}$ chegando ao resultado de ${{e}^{-a}}^{2} \left(-2a \right)$

depois apliquei a regra da cadeia chegando a $\frac{{{e}^{-a}}^{2} \left(-2a \right)\left(1+{a}^{2} \right)^2 - \left({4a}^{3}+4a \right){{e}^{-a}}^{2}}{\left(1+{a}^{2} \right)^4}$