Prova de função crescente.

[TheoFerraz]

Na lista de exercicios o professor pegou esse exercicio de um livro ai:

Seja uma função bijetora. prove que ela é ou crescente, ou decrescente (monótona)

a) pelo método da análise real.

b) pelo método das derivadas.

Olha, talvez eu até consiga por derivadas, mas eu mal sei o que é bijetora! se alguém puder me ajudar seria ótimo!
Ah, e sobre essas demonstrações ai, principalmente as analíticas, existe algum livro, algum lugar que eu possa aprender essas coisas? como provar por absurdo, indução finita, essas coisas? Eu faço física mas o meu professor da a aula como se nós fizéssemos matemática pedindo para provarmos teoremas e etc, mas eu preciso saber essas coisas...

Agradeço já à qualquer ajuda! Obrigado!

[LuizAquino]

Dizemos que a função é bijetora se as duas propriedades abaixo são válidas:
(i) Para quaisquer e pertencentes a I, se , então temos que ;
(ii) Para qualquer y pertencente a J, temos que existe algum x pertencente a I tal que y = f(x).

Se uma função tem apenas a propriedade (i), então ela é chamada de injetora.

Por outro lado, se uma função tem apenas a propriedade (ii), então ela é chamada de sobrejetora.

Para resolver o quesito (a) do exercício uma boa alternativa é usar o Axioma da Tricotomia (juntamente com o fato da função ser injetora): dados dois números reais a e b apenas uma das afirmações será verdadeira:
(i) a = b
(ii) a > b
(iii) a < b

Quanto a livros com técnicas de demonstração há vários. Um deles é:
Fossa, John. Introdução às Técnicas de Demonstração na Matemática. 2ª Edição. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009.