Limites... Alguém resolve esta?

por **renanrdaros** » Qui Abr 28, 2011 00:29

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{a\sqrt[3]{x+8}-b}{x}=\frac{1}{4}$

Determinar o valor das constantes a e b

por **LuizAquino** » Qui Abr 28, 2011 08:51

Dica

(i) Para que haja uma indeterminação do tipo 0/0, precisamos que $\lim_{x\to 0} a\sqrt[3]{x+8}-b = 0$ . Disso você deve obter que b = 2a.

(ii) Usando (i), você vai precisar resolver a equação $\lim_{x\to 0}\frac{a\sqrt[3]{x+8}-2a}{x}=\frac{1}{4}$ .

Note que isso é o mesmo que $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{a^3(x+8)}-2a}{x}=\frac{1}{4}$ .

Para resolver o limite no lado esquerdo da equação, multiplique tanto o numerador quanto o denominador por $\left( \sqrt[3]{[a^3(x+8)]^2}+2a\sqrt[3]{a^3(x+8)} + 4a^2 \right)$ . Em seguida, lembre-se do produto notável $u^3-v^3 = (u-v)\left( u^2 + uv + v^2 \right)$ .

por **renanrdaros** » Qui Abr 28, 2011 11:02

LuizAquino escreveu:multiplique tanto o numerador quanto o denominador por $\left( \sqrt[3]{[a^3(x+8)]^2}+2a\sqrt[3]{a^3(x+8)} + 4a^2 \right)$

Luiz, não consegui entender essa parte. Normalmente eu tentaria multiplicar pelo conjugado. Por que você multiplicou por essa expressão?

Obrigado pela ajuda!

EDIT: Depois de enviar a pergunta eu acabei percebendo o porquê da multiplicação por aquela expressão gigante ali.

por **renanrdaros** » Qui Abr 28, 2011 11:08

Outra coisa que não entendi: Por que você igualou o numerador a zero? Não entendi por que eu preciso que haja uma indeterminação 0/0.

por **renanrdaros** » Qui Abr 28, 2011 11:34

Cheguei no resultado: a=3 e b=6

É isso?

Se for, só falta entender aquela parte da indeterminação do tipo 0/0

por **LuizAquino** » Qui Abr 28, 2011 12:16

Suponha que $\lim_{x\to 0} a\sqrt[3]{x+8}-b = c$ , com c uma constante não nula.

Então teríamos o limite:
$\lim_{x\to 0}\frac{a\sqrt[3]{x+8}-b}{x} = \left(\lim_{x\to 0}a\sqrt[3]{x+8}-b\right)\left(\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\right) = c \left(\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\right)$

Lembre-se que:
(i) $\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x} = -\infty$
(ii) $\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x} = +\infty$

De (i) e (ii) temos que não existe o limite $\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}$ , já que os seus laterais são distintos.

Desse modo, o seu limite original não existiria. Mas, você quer que esse limite exista e seja igual a 1/4. Daí a estratégia de montar a indeterminação do tipo 0/0.

Quanto a saber se sua resposta está certa, você mesmo pode conferir! Basta substituir os valores de a e b no limite original e verificar se ele será igual a 1/4.

por **renanrdaros** » Qui Abr 28, 2011 12:38

Entendi que eu tenho que manipular a expressão para que o limite exista e seja igual a 1/4, mas não entendi ONDE a indeterminação 0/0 entra nisso.

por **LuizAquino** » Qui Abr 28, 2011 14:19

Em resumo, nós temos uma equação do tipo $\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{1}{4}$ .

Já sabemos no exercício que $\lim_{x\to 0} g(x) = 0$ . Além disso, também sabemos que: g(x)<0, se x<0; g(x)>0, se x>0. Isso significa que $\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{g(x)} = -\infty$ e $\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{g(x)} = +\infty$ .

Se tivéssemos $\lim_{x\to 0} f(x) = c$ , com c uma constante não nula, então o limite $\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$ não existiria e portanto a equação original não seria válida.

Desse modo, precisamos tomar que $\lim_{x\to 0} f(x) = 0$ .

Ora, mas isso é o mesmo que dizer que o limite original possuirá uma indeterminação do tipo 0/0.