Limite demorado ?!

por **OtavioBonassi** » Sex Jan 07, 2011 01:57

Galera ,precisava calcular o seguinte limite levando em média no máximo 4 minutos , mas do jeito que eu to fazendo (L' Hopital) levaria uns 10 (pelo menos pra mim) !

O limite é o seguinte :

$\lim_{x\to_{-\infty}}\frac{\sqrt[2]{4x^2 + 7}}{\sqrt[3]{x^3+3x^2+1}}$

...

Conforme eu fui fazendo l' hopital foram aparecendo mais denominadores com raizes e ao invés de facilitar fui complicando !

Abraço,
Otávio

por **Pedro123** » Sex Jan 07, 2011 02:02

é meu caro, esse eu vou ficar te devendo, ainda não vi calculo... axo q vou começar a ver esse ano hsaushasuh

por **VtinxD** » Sex Jan 07, 2011 12:35

Acho que se você transformar o limite para este limite fica mais facil de enxergar....
$\lim_{\infty}=\frac{\sqrt[6]{{(4{x}^{2}+7)}^{3}}}{\sqrt[6]{{({x}^{3}+3{x}^{2}+1)}^{2}}}$
Agora ,eu acho,é só fazer a divisão de polinômios e analisar o polinômio do resto.Aparentemente você chega a esse polinômio:
$-384{x}^{5}-240{x}^{4}-128{x}^{3}+240{x}^{2}+279$ .Agora só usar as derivadas para descobrir , que ele só possui uma raiz real e quando x tende a -oo a função tende a +oo também.Você tambem pode perceber que -384x^5-128x^3+240x^2 cresce muito mais rapidamente que -240x^4 quando tendidos a numeros negativamente grandes ,tendendo assim para +oo.
Espero ter ajudado.

por **OtavioBonassi** » Sex Jan 07, 2011 16:14

então nós temos um problema cara ,a resposta do exercicio é -2 hasuhsuahu
nao consegui chegar nela ,se analisarmos desse seu jeito a funçaõ tende a infinito mesmo, mas a resposta é -2 , tá ai o caô !

por **VtinxD** » Sex Jan 07, 2011 16:56

Eh....O WolframAlpha diz que o limite é igual a $1-\sqrt[]{3}i$ .Agora qual esta certo eu não sei dizer mas tenho quase certeza de que o meu anterior esta errado.

por **OtavioBonassi** » Sex Jan 07, 2011 17:00

eix ,ai o wolfram já apelou ,meteu caiu no número imaginário ... esse exercício ai é um da fuvest ,e eles forneceram como gabarito o -2 mesmo ...

por **Renato_RJ** » Sex Jan 07, 2011 22:56

Colegas, usando a transformação sugerida pelo amigo VtinxD, teremos:

$\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{\sqrt[6]{(4*x^2+7)^3}}{\sqrt[6]{(x^3+3*x^2+1)^2}}}$

Desenvolvendo as potências teremos:

$\lim_{x\rightarrow\infty}{\sqrt[6]{\frac{64*x^6+336*x^4+588*x^2+343}{x^6+6*x^5+9*x^4+2*x^3+6*x^2+1}}}$

Dividindo os termos por x^6

temos:

$\lim_{x\rightarrow\infty}{\sqrt[6]{\frac{(64+\frac{336}{x^2}+\frac{588}{x^4}+\frac{343}{x^6})}{(1+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}+\frac{2}{x^3}+\frac{6}{x^4}+\frac{1}{x^6})}}}$

Aplicando o limite teremos:

$\sqrt[6]{64} \, \Rightarrow \sqrt[6]{2^6} \, \Rightarrow 2$

Se cometi algum erro, por favor apontem, assim todos nós aprendemos...

Grato,
Renato.

P.S.: Correção quanto a raiz sêxtupla de 64, grato Fantini.

por **MarceloFantini** » Sex Jan 07, 2011 23:32

Apenas uma correção no final: $\sqrt[6]{64} = 2$ .

por **OtavioBonassi** » Sáb Jan 08, 2011 00:00

mas então ,sei lá ... é um exercicio teste na verdade , nao sei se esse é o caminho mesmo ... se eu adotasse esse caminho de dividir os polinomios pelo maior x elevado desde o começo ?! tipo, eu teria um resultado como infinito pô ... Acho que eu ter dado a resposta influenciou um certo caminho , vamos ver se mais alguem tem alguma resolução .

E também achoq ue a resposta tem que ser só uma né ,e não + ou - 2 , se voce pensar num gráfico tendendo pela esquerda no infinito nao tem como ter 2 resposta (no caso + ou - 2) , se x tendensse a outro número tudo bem ,mas ele tem a infinito, pelo menos na minha cabeça nesse caso nao tem como um limite lateral tender a 2 números ,tem ?

por **Renato_RJ** » Sáb Jan 08, 2011 01:51

Grande Otávio, eu não me senti tendenciado pela resposta que você já tinha postado (o -2), tanto que eu disse que seria 2 devido ao fato de termos a $\sqrt[6]{64}$ no fim do limite (mesmo que o limite tenha tendência pela esquerda ou direita), só que eu demorei um tempo bem considerado para resolver... O que aconteceu comigo, foi que segui da dica do colega VtinxD para colocar os dois polinômios em uma raiz de mesma potência (facilitando as contas).

Abraços,
Renato.

por **OtavioBonassi** » Sáb Jan 08, 2011 09:30

Fala ai Renato ,tudo bem cara ? Achei um pequeno problema na resolução ,acho que voce copiou o limite do VtinxD e agora que eu percebi que ele copiou errado ,nao é o x tendendo ao infinito ,é x tendendo a menos infinito, ou seja ,um número ao invés de extremamente alto ,extremamente baixo ! Então as divisões ao invés de dar 0 dariam infinito ,ficando raiz de $( 64 + \infty + \infty + \infty ...)$ e assim vai . Agora ,nao sei se a raiz da soma de infinitos dividido pela raiz da soma dos infinitos é uma indeterminação ou não.

Acho que agora muda o rumo do exercício né ? haha
O x tende a menos infinito.
Desculpe-me por nao ter percebido antes !

Abraços,
Otávio.

por **Renato_RJ** » Sáb Jan 08, 2011 12:15

Fala Otavio, eu realmente copiei o limite do VtnixD, pois ele já tinha dado a sacada de colocar os dois polinômios com raízes de mesma potência, assim facilitou o meu raciocínio.. Quanto ao menos infinito, as frações tenderão ao zero, acho que ficamos na mesma...

Abraços,
Renato.