Área de triângulo

por **Mi_chelle** » Qua Mai 04, 2011 20:17

Não estou conseguindo resolver a seguinte questão:
(Unicamp) Sejam A,B,C e D os vértices de um quadrado de lado a= 10cm; Sejam ainda E e F pontos nos lados AD e DC respectivamente, de modo que BEF seja um triângulo equilátero.
a)Qual o comprimento do lado desse triângulo.
b) Calcule a área do mesmo.

Tentativa:
a)Inicialmente fiz as seguintes deduçoes:
AE=CF=y
DE=DF=Z
m seria a altura do triângulo, então m= $\frac{x.\sqrt[]{3}}{2}$
A soma das áreas dos triângulos ABE, DEF, BCF E BEF é igual a 100cm²

Então, $[tex]\frac{10.y}{2}+\frac{{z}^{2}}{2}+\frac{10.y}{2}+\frac{x.m}{2}$ =100.

Resolvendo essa equação, cheguei ao resultado:
x²= $\frac{100\sqrt[]{3}}{3}$ .

Porém no gabarito a resposta é:
a)10( $\sqrt[]{6}-\sqrt[]{2}$ )cm.
b)100(2 $\sqrt[]{3}-3)$ cm².

Onde foi que eu errei?

por **FilipeCaceres** » Qua Mai 04, 2011 21:19

: quadrado_triangulo.png (12.01 KiB) Exibido 1754 vezes

Observe que:
$\alpha +\beta=45$

A diagonal

corresponde a bissetriz do triângulo EBF

, portanto
$\alpha =30$

Desta forma temos que,
$\beta =15$

Logo,
$cos 15=\frac{10}{a}$

$a=\frac{10}{cos15}$

Sendo,
$cos(45-30)=cos45.cos30+sin30.sin45=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Temos,
$a=\frac{10}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{40}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}.\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}$

$a=\frac{40.(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$

$a=10.(\sqrt{6}-\sqrt{2})cm$

Como a area de um triângulo equilátero é dado por,
$A=\frac{l^2.\sqrt{3}}{4}$

Temos,
$A=\frac{(10.(\sqrt{6} -\sqrt{2}))^2.\sqrt{3}}{4}$

$A=\frac{10^2.(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2.\sqrt{3}}{4}$

$A=\frac{100.(6-2.2.\sqrt{2}+2).\sqrt{3}}{4}$

$A=100.(2.\sqrt{3}-3)cm^2$

Abraço.