Os pontos de intersecção M,N,P,Q,R das diagonais determinam um segundo pentágono regular.Estudando a relação entre os dois pentágonos, os matemáticos da escola Pitagórica determinaram importantes propriedades,como já exposto anteriormente .Vamos mostrar que a razão entre a diagonal ( D ) e o lado ( L ) do pentágono é o numero de ouro.
Para , isto precisamos mostrar dois resultados:
1° - Os GAP e JGI são semelhantes.
2° - Os segmentos IP = GA = L
Do resultado 1 , obtemos a seguinte relação de proporcionalidade:
Observa-se que:
GA = JI = L
JG = D
GP = GI – IP = D – L
Ou seja : substituindo em temos:
como conseqüência , resulta: L² = D² - DL representando D/L = x ,para obtermos L² = (xL)² - xLL --> L² = x²L² - xL² --> 1 = x² - x --> x² - x -1 = 0 obtemos como raiz válida
![\frac{1+\sqrt[2]{5}}{2}](/latexrender/pictures/9857995b1526d7dad3693048a85a1cae.png "\frac{1+\sqrt[2]{5}}{2}")
Provamos assim que D/L = é o numero áureo .
por 
em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.
o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo 
. O triângulo é retângulo com catetos 
e 
, tal que 
. Seja 
o ângulo complementar. Então 
. Como 
, o ângulo que o afixo 
formará com a horizontal será 
, então 
. Como módulo é um: 
.
.