[Distâncias]

por **renan_a** » Sáb Out 20, 2012 12:13

Olá, galera!
Então, estou com certa dúvida para resolver alguns exerícios de distâncias , porém antes de postar os exercícios, gostaria de deixar claro que meu professor quer que , por exemplo, se eu quiser distância de ponto a plano, eu tenho que descobrir um ponto do plano(p'), e daí sim fazer a distância , através de distância entre pontos .

Vou dar um exemplo de cada, e se alguém puder me ajudar, fico muito grato, pois tenho prova que cairá isso também.

1 - ponto à reta:

P(2,3,-1) e r: X=3+t , y=-2t , z=1-2t

2 - de reta a plano:

r: x=3 , y=4 e $\pi$ : y=0

3 - distância entre retas:

r: x=2 - t, y= 3+t, z= 1 - 2t / s: x= t , y= -1-3t , z= 2t

por **young_jedi** » Sáb Out 20, 2012 13:21

exemplo 1)

a reta pode ser escrita como

(1,-2,-2)t+(3,0,1)

sendo asssim o vetor diretor da reta é v=(1,-2,-2)

pegando um ponto A qualquer da reta podemos construir o vetor $\overrightarrow{PA}$ , este vetor pode ser decomposto em dois vetores um na direção da reta e outro ortogonal a este, sendo que o modulo deste vetor ortogonal nos fornece a menor distancia entre o ponto e a reta.

seu modulo pode ser fornecido por

$|\overtrightarrow{v_2}|=|\overrightarrow{PA}|.sen\theta$

em que $\theta$ é o angulo entre o vetor PA e o vetor direção da reta mais temos que

$|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{PA}|=|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{PA}|sen\theta$

então a distancia pode ser calculada por

$d=\frac{|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{PA}|}{|\overrightarrow{v}|}$

onde v é o vetor direção da reta, P é o ponto dado, e A é um ponto qualquer pertencente a reta.

B) se a reta é paralela ao plano, então o vertor diretor da reta tem que ser ortogonal ao vetor normal ao plano, isto tem que ser verificado antes de calcular, caos contrario a reta intercepta o plano e a distancia é igual a 0.

a distancia de uma reta a um plano pode ser calculada pegando um ponto qualquer da reta e calculando a distancia desse ponto até o plano.

primeiro encontramos um ponto P qualquer da e um ponto A qualquer do plano e assim temos um vetor PA
a distancia sera calculada como sendo a projeção deste vetor sobre o vetor normal ao plano ou seja:

$d=\overrightarrow{PA}.cos\theta$

em que $\theta$ é o angulo entre o vetor normal e o vetor PA
temos que

$\overrightarrow{N}.\overrightarrow{PA}=|\overrightarros{N}||\overrightarrow{PA}|cos\theta$

então a distancia é dada por

$d=\frac{\overrightarrow{N}.\overrightarrow{PA}}{|\overrightarrow{N}|}$

C)

primeiro é necessaria encontrar o vetor que seja normal as duas retas, fazendo o produto vetorial entre os dois vetores diretores de cada reta.

escolhendo um ponto P em uma reta e um ponto A na outra reta temos o vetor PA, a distancia entre as retas pode ser calculada pela projeção desse vetor PA sobre o vetor normal as duas retas.

$d=\frac{\overrightarrow{N}.\overrightarrow{PA}}{|\overrightarrow{N}|}$

por **renan_a** » Sáb Out 20, 2012 14:09

não sei se te eexpliquei bbem, mas o que meu professor quer é :

se for de ponto a reta, eu já tenho o ponto, e tenho que descobrir um ponto da reta que tenha a menor distância desse que eu já sei, ou seja, ortogonal...
daí após descobrir esse tal ponto, eu faço a distância entre eles: $\sqrt[2]{(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2}$

------------
será que se eu fizer como abaixo, está certo?

Eu sei que o ponto de reta seria (3+t, -2t, 1-2t) e P(2,3,-1) , logo, PP'(1+t, -2t-3, 2-2t) e vetor da reta é (1,-2,-2)
então o produto escalar desses dois vetores será igual a zero:

1+t +4t +6 -4 +4t = 0]
9t = -3 ---> t= -1/3.

substituindo na reta , seria o P*(8/3, 2/3, 5/3)

d(P,P*) = $\sqrt[2]{ 4/3 + 49/3 + 64/3}$

e achei a resposta: $\sqrt[2]{117/3}$

que é a reposta do livro, porém não sei se minha resolução está correta

por **young_jedi** » Sáb Out 20, 2012 14:41

Sua resolução, esta correta sim é isso mesmo

por **renan_a** » Sáb Out 20, 2012 16:43

opa, beleza então =)

Mas e entre retas?

como descobrir os pontos de das duas retas de uma maneira ''alternativa'' como essa?

abraço

por **young_jedi** » Sáb Out 20, 2012 17:02

então tomando como exemplo as duas retas que voce citou no item 3
voce vai ter um ponto P do tipo

P=(2-t,3+t,1-2t)

e um ponto A

A=(s,-1-3s,2s)

veja que eu troquei a variavel t da segunda reta por s para não "misturar" as duas

então voce tera um vetor PA

$\overrightarrow{PA}=(2-t-s,4+t+3s,1-2t-2s)$

voce tem então que esse vetor deve ser ortogonal ao vetor diretor das duas retas
temos
v_r=(-1,1,-2)

e

então os dois produtos escalares tem que ser igual a zero

$\overrightarrow{PV}.\overrightarrow{v_r}=0$
$\overrightarrow{PV}.\overrightarrow{v_s}=0$

substituindo os dois vetores voce vai ter duas equações de duas incognitas, resolvendo voce encontra r e s ai substituindo nas equações das retas voce encontra os dois pontos.

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