Hipérbole

por **CarolMarques** » Qui Mai 24, 2012 11:04

São dados ,em cada caso, o parâmetro geométrico a e os focos de uma hipérbole.Obtenha uma equação algébrica de segunda grau em x e y que todo ponto(x,y,) da hipérbole deva satisfazer.

a=1; F1=(3,4); F2=(-1,-2)
Eu percebi que a hipérbole deve possuir na equação um termo quadrado misto(Bxy) mas não sei como usar os conceitos de rotação e translação dos eixos para achar a equação.Eu só consigo fazer o inverso.Por favor me ajudem.

por **LuizAquino** » Sáb Mai 26, 2012 19:08

CarolMarques escreveu:São dados ,em cada caso, o parâmetro geométrico a e os focos de uma hipérbole.Obtenha uma equação algébrica de segunda grau em x e y que todo ponto(x,y,) da hipérbole deva satisfazer.

a=1; F1=(3,4); F2=(-1,-2)

CarolMarques escreveu:Eu percebi que a hipérbole deve possuir na equação um termo quadrado misto(Bxy) mas não sei como usar os conceitos de rotação e translação dos eixos para achar a equação.Eu só consigo fazer o inverso.Por favor me ajudem.

Assim como foi feito em seu outro tópico (Parábola), a ideia é aplicar a definição da cônica em questão. Nesse caso, a definição da hipérbole.

Sabemos que a hipérbole é o conjunto dos pontos no plano cujo a diferença entre as suas distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é sempre constante.

Em outras palavras, se P = (x, y) é um ponto dessa hipérbole e F1 e F2 são seus focos, então o valor de |d(P, F1) - d(P, F2)| é sempre constante. Considerando que essa constante seja 2a, temos então que |d(P, F1) - d(P, F2)| = 2a.

Substituindo os dados fornecidos no exercício, temos que:

$\left|\sqrt{(x-3)^2 + (y-4)^2} - \sqrt{[x-(-1)]^2 + [y-(-2)]^2}\right| = 2\cdot 1$

Agora tente concluir o exercício. Se você não conseguir, então poste aqui até onde você conseguiu avançar.

por **CarolMarques** » Sáb Mai 26, 2012 21:11

Depois que eu vi a resposta no outro tópico eu até tentei fazer essa mesma questão pela definição , mas eu não consigo eliminar a raiz , eu elevo tudo ao quadradro mas permanece a raiz.Como eu faço pra tirá-la?

por **LuizAquino** » Dom Mai 27, 2012 11:03

CarolMarques escreveu:Depois que eu vi a resposta no outro tópico eu até tentei fazer essa mesma questão pela definição, mas eu não consigo eliminar a raiz, eu elevo tudo ao quadradro mas permanece a raiz. Como eu faço pra tirá-la?

É necessário elevar ambos os membros da equação ao quadrado por duas vezes.

Na primeira vez temos que:

$\left\{\left|\sqrt{(x-3)^2 + (y-4)^2} - \sqrt{[x-(-1)]^2 + [y-(-2)]^2}\right|\right\}^2 = (2\cdot 1)^2$

Sabemos que se m é um número real qualquer, então |m|^2 = m^2

. Sendo assim, podemos retirar o módulo que aparece no primeiro membro deixando apenas a potência 2. Ficamos então com:

$\left\{\sqrt{(x-3)^2 + (y-4)^2} - \sqrt{[x-(-1)]^2 + [y-(-2)]^2}\right\}^2 = 4$

$\left[\sqrt{(x-3)^2 + (y-4)^2}\left]^2 - 2\sqrt{(x-3)^2 + (y-4)^2}\sqrt{[x-(-1)]^2 + [y-(-2)]^2}\,$ $+ \left\{\sqrt{[x-(-1)]^2 + [y-(-2)]^2}\right\}^2 = 4$

$(x-3)^2 + (y-4)^2 - 2\sqrt{(x-3)^2 + (y-4)^2}\sqrt{(x+1)^2 + (y+2)^2}\,$ + (x+1)^2 + (y+2)^2 = 4

$- 2\sqrt{(x-3)^2 + (y-4)^2}\sqrt{(x+1)^2 + (y+2)^2} =\,$ 4 - (x-3)^2 - (y-4)^2 - (x+1)^2 - (y+2)^2

Elevando ao quadrado pela segunda vez cada membro dessa equação, temos que:

$\left[- 2\sqrt{(x-3)^2 + (y-4)^2}\sqrt{(x+1)^2 + (y+2)^2}\right]^2 =\,$ $\left[4 - (x-3)^2 - (y-4)^2 - (x+1)^2 - (y+2)^2\right]^2$

$4\left[(x-3)^2 + (y-4)^2\right]\left[(x+1)^2 + (y+2)^2}\right] =\,$ $\left[4 - (x-3)^2 - (y-4)^2 - (x+1)^2 - (y+2)^2\right]^2$

Agora tente continuar a partir daí.

E detalhe: não se assuste com o trabalho para desenvolver essa equação. Ele é grande assim mesmo!

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