Ajuda na questão de Pré-Cálculo

por **Jamilly** » Ter Mar 16, 2010 10:12

Bom dia!!

Estou estudando para um concurso e me deparei com uma questão que me deixou em dúvida! Espero que possam me ajudar!
A questão é a seguinte:
Resolva a seguinte inequação em R (reais) e responda na forma de intervalo:

1/x²-1 < 1/x³-1 (1 sobre x²-1 menor que 1 sobre x³-1)

Minha resolução:

Eu passei a parte igualada para o lado esquerdo e ficou assim: 1/x²-1 - (1/x³-1) < 0

Tirando o mmc: x³-1 - (x²-1)/ (x²-1)(x³-1)< 0

Simplificando: x³-x² / (x²-1)(x³-1)< 0

Decompus o denominador e o primeiro termo do numerador: x²(x-1) / (x+1)(x-1)(x³-1)< 0

Anulei (x-1) embaixo e em cima: x² / (x+1)(x³-1)< 0

Eu fiz o quadro de sinais e a resposta na forma de intervalo ficou: [0,1]

Mas acho que está errado, devo ter errado algo na resolução.

Peço que me ajudem.

por **MarceloFantini** » Ter Mar 16, 2010 22:57

Boa noite.

Vou multiplicar os dois lados por x^2 -1

:

$\frac {1} {x^2 -1} \times (x^2 -1) < \frac {1} {x^3 -1} \times (x^2 -1)$

$1 < \frac {x^2 -1} {x^3 -1}$

Multiplicando os dois lados por x^3 -1

:

Agora pelo gráfico fica fácil perceber. Estou sem meios pra fazer um, mas se fizer perceberá que a condição é satisfeita apenas para 0 < x < 1

e

Espero ter ajudado.

Um abraço.

por **Elcioschin** » Ter Mar 16, 2010 23:14

Vou continuar e corrigir os cálculos de Jamilly:

1/(x² - 1) < 1/(x³ - 1)

1/(x² - 1) - 1/(x³ - 1) < 0 ----> Fatorando:

1/(x + 1)*(x - 1) - 1/(x - 1)*(x² + x + 1) < 0 ----> MMC = (x + 1)*(x - 1)*(x² + x + 1):

[(x² + x + 1) - (x + 1)]/ (x + 1)*(x - 1)*(x² + x + 1) < 0

x²/(x + 1)*(x - 1)*(x² + x + 1) < 0 ----> x² é sempre positivo e (x² + x + 1) também (concavidade p/cima e delta < 0)

Logo o sinal depende apenas de (x + 1)*(x - 1) ----> Parábola c/concavidade p/ cima ----> -1 < x < + 1

Temos, entretanto, uma restrição ----> X <> 0

Solução final: -1 < x < 0 e 0 < x < +1

por **MarceloFantini** » Ter Mar 16, 2010 23:29

Elcio, então qual seria o meu erro? E não entendi que a sua restrição. É x > 0

ou

?

por **Elcioschin** » Qua Mar 17, 2010 13:26

Fantini

a) O erro cometido foi multiplicar os dois membros por (x² - 1) devido ao seguinte:

1) Se (x² - 1) > 0 não há nenhum problema na multiplicação.
2) Se (x² - 1) < 0 ao se multiplicar o sinal da inequação deveria ter sido invertido.

Logo, esta multiplicação implica em resultados falsos.

b) x < > 0 significa "x diferente de zero".

Usei esta convenção para não ter o trabalho de escrever o símbolo de "diferente de" no LaTeX