[Geometria Analítica] Exercício - URGENTE

[Pessoa Estranha]

Olá, pessoal! Não estou conseguindo resolver o seguinte exercício:

Obtenha o simétrico do ponto P em relação ao plano:
P=(1,4,2); ?:x-y+z-2=0

Por favor, pode ser só uma dica. Já tentei resolver várias vezes, mas não consigo.

Obrigada!

[anderson_wallace]

Inicialmente vamos lembrar da definição de equação geral do plano.

Seja um ponto do plano e um vetor ortogonal a , a equação geral do plano é definida como

, onde

Então note que com a equação geral vc tem um vetor ortogonal ao plano, que nesse caso é

Agora podemos encontrar uma reta ortogonal a que passa pelo ponto , e como o ponto simétrico a P está contido nessa reta, ele pode ser escrito como (Verifique!).

Perceba que basta vc encontrar o valor para tal que a distância do ponto P ao plano seja igual a distância do ponto P1 ao plano .

[Pessoa Estranha]

Olá! Obrigada por responder!

Bem, pensei assim também, mas fiquei na dúvida, pois como podemos garantir que o ponto P está na reta ortogonal ao plano? (não sei se estou dizendo um absurdo, mas podemos imaginar um plano "atravessado" por uma reta ortogonal e que não passa por P, não é?).

Desculpe, estou precisando estudar mais este conteúdo, mas foi o que pensei....

Obrigada!

[anderson_wallace]

Seu raciocínio faz todo sentido, afinal existem infinitas retas ortogonais ao plano . Mas note o modo como essa reta em particular foi obtida. Inicialmente tomamos um vetor ortogonal ao plano que foi dado pela própria equação geral do plano , daí encontramos a reta ortogonal a que tem como vetor diretor o vetor , e que passa pelo ponto P



Ou seja, na própria obtenção da reta definimos que ela passa pelo ponto P.

[Pessoa Estranha]

Muito obrigada pela ajuda!