por fernandocez » Qua Mai 08, 2013 18:48
Companheiros venho mais uma vez solicitar a ajuda de vcs. A questão é a seguinte:
No plano cartesiano, a equação x² - 4xy - 5y² = 0 representa:
a) uma hipérbole
b) uma parábola
c) uma elipse
d) duas retas paralelas
e) duas retas concorrentes (resposta do gabarito)
Eu tentei ajuda nos livros de geometria analítica e nenhum exemplo parecido com a situação. Tentei desmenbrar em duas equações e não consegui.
Como faço para reconhecer que essa equação são duas retas concorrentes? Existe um método prático? Ou outro recurso? Agradeço quem puder ajudar.
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fernandocez
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por e8group » Qua Mai 08, 2013 21:39
Se não me engano geralmente utilizamos mudança de coordenadas para eliminar o termo
.Mas no caso em questão ,podemos fatorar tal equação .Veja :
![x^2 -4xy -5y^2 = (x^2 -4xy -5y^2 ) + 0 = (x^2 -4xy -5y^2 ) + -xy +xy = [x^2 +xy ] + [-4xy -xy -5y^2] = x[x+y] -5y[x+y] = [x+y][x-5y] = 0 \implies \begin{cases} x+y = 0 \\ x -5y = 0 \end{cases}](/latexrender/pictures/e5a8d89c9037c59525246c9cd999bdb9.png "x^2 -4xy -5y^2 = (x^2 -4xy -5y^2 ) + 0 = (x^2 -4xy -5y^2 ) + -xy +xy = [x^2 +xy ] + [-4xy -xy -5y^2] = x[x+y] -5y[x+y] = [x+y][x-5y] = 0 \implies \begin{cases} x+y = 0 \\ x -5y = 0 \end{cases}")
.
Tente observar se a interseção é diferente do vazio .Comente as dúvidas .
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por e8group » Qua Mai 08, 2013 22:08
Pensando bem a última implicação não é verdadeira .Como vimos
![(*) x^2-4xy-5y^2 = [x+y][x-5y] = 0](/latexrender/pictures/193b57cbfbc53f58939fe5fbc67d1159.png "(*) x^2-4xy-5y^2 = [x+y][x-5y] = 0")
, portanto
ou
.A equação
é a reunião das retas
e
(se é assim que podemos dizer ) .Para estudar a posição relativa entre as retas ,inicialmente podemos tomar a interseção entre elas ,isto é , resolver aquele sistema que já foi citado .Se
podemos concluir que
são concorrentes ou paralelas coincidentes . Teremos estes dois casos a estudar .
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por fernandocez » Sex Dez 20, 2013 09:54
Obrigado e feliz natal.
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Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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