[ESTUDO DA RETA] Ponto da reta, com os pontos A e B sendo eq

por **rochadapesada** » Dom Dez 15, 2013 16:31

Não consigo desenrolar essa questão... PS.: como não dei algebra linear, então por favor não usem

por **e8group** » Dom Dez 15, 2013 16:40

O que você não entendeu ? Outra forma de escrever o enunciado .Dado a reta

e os pontos A, B

.Encontre um ponto pertencendo à reta

tal que a distância deste ponto ao ponto

seja a mesma ao ponto

. Em resumo , deve determinar $P \in r : d(P,A) = d(P,B)$ .

por **rochadapesada** » Dom Dez 15, 2013 17:24

Sim, mas, iria ficar o seguinte neh:

$\sqrt{{(x-{x}_{o})}^{2}-{(y-{y}_{o})}^{2}-{(z-{z}_{o})}^{2}} = \sqrt{{(w-{x}_{o})}^{2}-{(w-{y}_{o})}^{2}-{(w-{z}_{o})}^{2}}$

ai fazendo as contas acho x0 + y0= 2, mas depois? O que faço?

por **e8group** » Dom Dez 15, 2013 18:04

Na verdade a distância entre dois pontos $X = (x_1, \hdots , x_n), Y =(y_1 , \hdots , y_n) \in \mathbb{R}^n$ e dada por

$d(X,Y):= \sqrt{\sum_{ k\in \{1,2,\hdots ,n \} } (x_k -y_k)^2}$ . Por exemplo em $\mathbb{R}^3$ .

$d(X,Y):= \sqrt{\sum_{ k\in \{1,2,3\} } (x_k -y_k)^2} = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + (x_3-y_3)^2 }$ e não a fórmula que você apresentou .

Note que se $P \in r$ então para algum $\lambda$ real ,tem-se $P:= (1+\lambda ,\lambda ,\lambda)$ . Em particular devemos escolher $\lambda$ tal que $d(P,A) = d(P,B) \equiv d^2(P,A) = d^2(P,B) \equiv (1+\lambda -1 )^2+(\lambda -1 )^2+(\lambda -1)^2 =(1+\lambda - 0 )^2+(\lambda - 0 )^2+(\lambda-1 )^2$ .

Tente avançar .

por **rochadapesada** » Dom Dez 15, 2013 18:18

Eu ainda não vi isso amigo... Como vou fazer um negócio que o livro nem mostra essa sua explicação :/

por **e8group** » Dom Dez 15, 2013 18:41

O livro fala sobre produto escalar ou interno,pois conheço tal livro .Então ,

$\overrightarrow{YX} = ( x_1 - y_1 , x_2 - y_2 , \hdots , x_n - y_n )$ . Calculando o produto escalar $\overrightarrow{YX} \cdot \overrightarrow{YX}$ em termos das componentes destes vetores vamos obter

$\overrightarrow{YX} \cdot \overrightarrow{YX} = \sum_{k=1}^n ( x_k - y_k)( x_k - y_k) = \sum_{k=1}^n ( x_k - y_k)^2$ . A raiz quadrada desta expressão forne a distância de

a

.

Agora como queres obter um ponto P equidistante de A,B sem impor que as distância dele a ambos pontos são iguais ?

por **rochadapesada** » Dom Dez 15, 2013 19:04

Mas pode ter x-y? Porque eles são eixos diferentes (uma é abscissa e a outra é ordenada) e nesse livro aprendi que tem que somar ou subtrair apenas pelo seu respectivo eixo... Essa parte não consta no livro :/

por **Russman** » Dom Dez 15, 2013 19:55

A notação só está complicada. Eu penso ser melhor escrever os vetores de uma forma diferente.

Como calcular a distância entre uma reta

e um ponto

?

Dados dois pontos A(x_A,y_A,z_A)

e

o vetor que liga estes pontos é escrito como $\overrightarrow{AB}$ e suas componentes são as diferenças das coordenadas respectivas de cada ponto. Isto é, $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A , y_B - y_A , z_B - z_A)$ .

Você sabe que os pontos R(x_r,y_r,z_r)

da reta

são todos escritos da forma

$x_r = 1 + \lambda$
$y_r = \lambda$
$z_r = \lambda$ .

Assim, o vetor que liga a reta

ao ponto

é

$\overrightarrow{AR}= (1+ \lambda -1 , \lambda -1 , \lambda-1) = ( \lambda , \lambda -1 , \lambda-1)$

e ao ponto B(0,0,1)

é

$\overrightarrow{BR}= (1+ \lambda -0 , \lambda -0 , \lambda-0) = ( \lambda+1 , \lambda , \lambda-1)$

Pronto. Agora a distância entre a reta e o ponto será o módulo do respectivo vetor de ligação.

Se você deseja que as distâncias sejam iguais basta igualar os módulos. Assim, você obterá uma equação em $\lambda$ e , com a solução, poderá calcular o respectivo ponto da reta que dista o mesmo de

e

.

Eu acho que vai ser o ponto (1,0,0)