[Equação de planos] Dùvida exercício 2

por **MrJuniorFerr** » Sáb Out 06, 2012 20:39

Sei que eu deveria postar apenas 1 exercício por tópico, mas são 2 exercícios muito parecidos, portanto, os postarei aqui:

Escreva uma equação do plano paralelo ao eixo z e que contém os pontos A(2,0,0) e B(0,3,2).

Sei que quando um plano é paralelo a um eixo, este eixo é zero na equação deste plano, mas o que eu posso retirar desta informação?

Eu faria assim:

z=0

Sei que para achar o valor de d da equação do plano, eu deveria fazer:
a(-2)+b(3)+0(2)+d=0

portanto, temos:
-2a+3b+d=o

Mas, como podem ver, há 3 variáveis... não sei o que fazer.

Escreva uma equação do plano paralelo ao eixo z e que contém o ponto (1,1,1)

Como eu havia dito, sei que na equação deste plano z=o

, mas não sei o que retirar desta informação para que eu possa relaciona-lo com este ponto dado.

por **young_jedi** » Sáb Out 06, 2012 22:09

note que

se o plano é paralelo ao eixo z, então a coordenada z é livre na equação do plano ou seja
a equação do plano fica

x+by+c=0

substituindo os dois pontos que voce tem nos valores de x e y voce encontra os valores de b e c e assim a equação do plano

por **MrJuniorFerr** » Sáb Out 06, 2012 22:26

young_jedi escreveu:note que

se o plano é paralelo ao eixo z, então a coordenada z é livre na equação do plano ou seja
a equação do plano fica

substituindo os dois pontos que voce tem nos valores de x e y voce encontra os valores de b e c e assim a equação do plano

young_jedi, não deveria ser ax+by+c=0

? Por que o

foi retirado?

por **MrJuniorFerr** » Sáb Out 06, 2012 22:33

young_jedi, como vou substituir os dois pontos nos valores de x e y? Se fosse apenas um eu saberia como substituir rsrs

por **young_jedi** » Sáb Out 06, 2012 22:34

se voce dividir a equação inteira por a voce nao altera ela em nada continua sendo a equação do mesmo plano
fiz isto para que pudesse ficar so com duas variaveis

ax+by+c=0

$x+\frac{b}{a}y+\frac{c}{a}=0$

substituindo $m=\frac{b}{a}$ e $n=\frac{c}{a}$

x+my+n=0

é o mesmo plano so que aplicando os pontos voce so tem duas incognitas

por **MrJuniorFerr** » Sáb Out 06, 2012 22:59

Como encontro o vetor normal (n), ou seja, perpendicular ao plano?
O gabarito do exercício é 3x+2y=6

, ou seja, n=(3,2,0)

e

. Mas como achar este vetor n?
Não seria necessário achar mais um ponto do plano? pois assim, tendo um ponto A, B e C, e fazendo os vetores

e

,

. E então?

Obs: como colocar as flechinhas do latex encima de AB, AC (vetores)?

por **young_jedi** » Sáb Out 06, 2012 23:06

pegando a equação do plano

x+my+n=0

substituindo os pontos A e B

2+0.m+n=0

resolvendo se tira

n=-2

$m=\frac{2}{3}$

então a equação fica

$x+\frac{2}{3}y-2=0$

multiplicando por 3

3x+2y-6=0

as flexinhas são

\overrightarrow{AB}

$\overrightarrow{AB}$

por **MrJuniorFerr** » Sáb Out 06, 2012 23:18

Impressionante young_jedi. Não imaginava que podia ser feito desta forma...
Sem dividir a equação inteira por

, teria outro modo para resolver este exercício?
Obrigado

por **young_jedi** » Sáb Out 06, 2012 23:31

um jeito simples de se resolver seria encontrar a reta que passa pelo ponto A e pelo ponto B
temos que esta reta estaria contida no plano com a diferença que no plano o valor de z seria livre para qualquer valor

Da maneira que voce pensou de encontrar um outro ponto C e fazer o produto vetorial AC e BC para encontrar o valor normal tambem daria certo
para encontrar o ponto C, oque voce poderia fazer é encontra o vetor projeção de AB sobre o plano xy com isso achar um vetor AC, mais seria mais trabalhoso

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 07, 2012 00:17

Tentei resolver o outro exercício desta forma e não deu certo...

Escreva uma equação do plano paralelo ao eixo z e que contém o ponto (1,1,1)

ax+by+cz+d=0

, como o plano é paralelo ao eixo z, temos:

ax+by+d=0

, dividindo a equação por a:

$x+\frac{b}{a}y+\frac{d}{a}=0$

$(m=\frac{b}{a}, n=\frac{d}{a})$

x+my+n=0

, substituindo o ponto em x e y:

1+1m+n=0

Portanto,

ficou em função de

, ou seja, se eu substituir o valor de n=(-1-1m)

na equação do plano, temos:

x+my+n=0

E agora, o que fazer?

por **young_jedi** » Dom Out 07, 2012 10:44

repare que o exercicio pede uma equação de um plano que passe pelo ponto (1,1,1) e seja paralelo ao eixo z

existe mais de um plano que satisfaz essas condições, para isso basta que n e m respeite essa relação de m e n que voce achou, ou seja, seja a equação do plano é da forma

x+my-1-m=0

se voce substituir m por um valor qualquer voce encontra um plano que satisfaz isto

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 07, 2012 16:17

young_jedi escreveu:repare que o exercicio pede uma equação de um plano que passe pelo ponto (1,1,1) e seja paralelo ao eixo z

existe mais de um plano que satisfaz essas condições, para isso basta que n e m respeite essa relação de m e n que voce achou, ou seja, seja a equação do plano é da forma

se voce substituir m por um valor qualquer voce encontra um plano que satisfaz isto

Ok young_jedi,
Cheguei nesta equação x+my-1-m=0

, atribuindo um valor, temos m=2

;

, esta seria a equação do plano?
O gabarito do exercício é z = 1

.
E uma dúvida, percebeu que eu não utilizei em nada o ponto (1,1,1) dado? Então esta equação é pertencente em qualquer ponto?

por **young_jedi** » Dom Out 07, 2012 17:28

na verdade voce tirou x=1 e y=1 do ponto (1,1,1) para achar a equação de m e n

com relação a outra duvida, surgiu uma duvida minha

no enunciado diz para encontrar um plano paralelo ao exio z
se no gabarito a resposta é o plano

z=1

este plano é perpendicular ao eixo z e não paralelo, sera que existe um erro no enunciado?

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 07, 2012 18:13

young_jedi escreveu:na verdade voce tirou x=1 e y=1 do ponto (1,1,1) para achar a equação de m e n

com relação a outra duvida, surgiu uma duvida minha

no enunciado diz para encontrar um plano paralelo ao exio z
se no gabarito a resposta é o plano

este plano é perpendicular ao eixo z e não paralelo, sera que existe um erro no enunciado?

É verdade, usei o ponto para achar o valor de n.
Bom, é o enunciado que está na minha lista, talvez esteja errado por parte da professora. Na próxima aula de GA (terça-feira), tirarei esta dúvida com ela.
Então quando um plano é perpendicular a um eixo, a equação do plano será x = k

ou

ou

?
*k = constante

por **young_jedi** » Dom Out 07, 2012 19:07

Sim, se um plano é perpendicular a um eixo, isso quer dizer que qualquer vetor na direção do eixo é normal ao plano
ou seja a equação do plano é uma das cooredenadas igual a um valor qualquer.