estudo de sinais de uma equação de 3º grau

[ygor_macabu]

Gostaria de saber como que eu posso fazer um estudos de sinais de uma equação de 3º grau.
por exemplo: sei que um equação de 1º grau é uma reta. de 2º grau é uma parabola.
isso ajuda a marca os pontos de interesse para resolver a inequação ( no meu caso)
mas cheguei em uma equação de 3º grau e não consigo resolve-la.

[Guill]

Uma equação do terceiro grau é uma função polinomial com 3 raízes. É preciso encontrar as três raízes, que é o lugar onde a função toca o eixo x (pode existir duas, uma ou nenhuma raíz).

Depois disso, é muito bom esboçar o gráfico da derivada dessa função (embora não seja preciso), pois ele te garante em quais valores a função do 3º grau está crescendo e em quais ela está decrescendo. (Em valores positivos da derivada, a função está crescendo, em valores negativos, decrescendo).



Exemplo:

Seja a inequação :

x³ - 2x² - x + 1 > -1

x³ - 2x² - x + 2 > 0

x²(x - 2) - (x - 2) > 0

(x² - 1)(x - 2) > 0

(x + 1)(x - 1)(x - 2) > 0


Sabemos que as raízes são -1 ; 1 ; 2, mas não sabemos em quais intervalos a função é positiva ou negativa. Ao invéz de olhar a derivada, façamos algo mais lógico:

O primeiro dos números (seguindo a ordem do plano cartesiano) que zera a função é o x = -1. Antes dele, observamos que as funções possuíam valores negarivos, pois (x + 1) era negativo, (x - 1) também e (x - 2) também (- - - = -). Agora, depois de x = -1, teremos:

+ - - = +

Até que cheguemos em x = 1, onde a situação se torna:

+ + - = -

Até atingirmos x = 2, onde teremos:

+ + + = +



Portanto, podemos afirmar:

--> Negativa

--> Positiva

---> Negativa

---> Positiva



Dessa forma, fica simples definir o conjunto solução: