Quais os números que são as raízes do seguinte polinômio

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Quais os números que são as raízes do seguinte polinômio

Mensagempor andersontricordiano » Sáb Fev 25, 2012 01:22

Dos números complexos seguintes , quais são raízes do polinômio p dado por p(x)={x}^{3}-7{x}^{2}+17x-15
2+i , i , 1 , 0 e 3


Resposta: 2+i e 3
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Re: Quais os números que são as raízes do seguinte polinômio

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Fev 25, 2012 01:51

andersontricordiano escreveu:Dos números complexos seguintes , quais são raízes do polinômio p dado por p(x)={x}^{3}-7{x}^{2}+17x-15
2+i , i , 1 , 0 e 3


Resposta: 2+i e 3

p(1) = 1^3 - 7 . 1^2 + 17 . 1 - 15 = 0
p(1) = 1 - 7 + 17 - 15 = 0
p(1) = - 4 = 0 ===> Falsa!


p(0) = 0^3 - 7 . 0^2 + 17 . 0 - 15 = 0
p(0) = 0 - 0 + 0 - 15 = 0
p(0) = - 15 = 0 ===> Falsa!


p(3) = 3^3 - 7 . 3^2 + 17 . 3 - 15 = 0
p(3) = 27 - 63 + 51 - 15 = 0
p(3) = 0 = 0 ===> Verdadeira!


Dividindo...
\frac{x^3 - 7x^2 + 17x - 15}{x - 3} = x^2 - 4x + 5

Resolvendo...
x^2 - 4x + 5 = 0

Encontrará...
x^, = 2 + i
x^{,,} = 2 - i
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habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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