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Soma de coeficientes

Soma de coeficientes

Mensagempor Jonatan » Qua Jun 16, 2010 15:22

No desenvolvimento de {(x+2)}^{n} há 10 termos. Qual a soma dos coeficientes destes termos?


Eu tenho esta questão resolvida aqui, entretanto, não estou conseguindo interpretar sua resolução... o que sugere é o seguinte:

Foi feito o desenvolvimento de {(x+2)}^{9}, pois como há 10 termos, significa que o expoente do binômio todo é 9... Feito o desenvolvimento, atribui-se 1 ao valor de x (x = 1) e ficou assim:


{(1+2)}^{9} = {(3)}^{9}.
Só que eu não entendi o motivo de jogar o 1 no lugar de x... Alguém pode me ajudar? Grato.
Jonatan
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Re: Soma de coeficientes

Mensagempor Lucio Carvalho » Qua Jun 16, 2010 16:29

Olá Jonatan,
Primeiramente, fazemos o desenvolvimento de {(x+2)}^{9}. Obtemos:

{(x+2)}^{9}=9C0.{x}^{9}+9C1.{x}^{8}.2+9C2.{x}^{7}.{2}^{2}+9C3.{x}^{6}.{2}^{3}+9C4.{x}^{5}.{2}^{4}+9C5.{x}^{4}.{2}^{5}+9C6.{x}^{3}.{2}^{6}+9C7.{x}^{2}.{2}^{7}+9C8.x.{2}^{8}+9C9.{2}^{9}

Como podemos verificar, a soma dos coeficientes dos 10 termos é:

9C0+9C1.2+9C2.{2}^{2}+9C3.{2}^{3}+9C4.{2}^{4}+9C5.{2}^{5}+9C6.{2}^{6}+9C7.{2}^{7}+9C8.{2}^{8}+9C9.{2}^{9}

=1+9.2+36.4+84.8+126.16+126.32+84.64+36.128+9.256+512=1+18+144+672+2016+4032+5376+4608+2304+512=19683

Espero ter ajudado!
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Re: Soma de coeficientes

Mensagempor Jonatan » Qua Jun 16, 2010 17:03

Olá, Lúcio. Entendi certinho o que você fez, me ajudou muito. Entretanto, teria uma forma mais rápida de fazer este exercício, visto que ''9'' já é um expoente considerável de desenvolvê-lo. Digo isto por que essas questões são de vestibulares, e tais concursos exigem cada vez mais rapidez na resolução das questões. Mesmo assim, muito obrigado pela atenção em resolver o exercício para mim.
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Re: Soma de coeficientes

Mensagempor MarceloFantini » Qua Jun 16, 2010 21:03

Um exemplo simples para ilustrar o porque que x = 1 ajuda nestas situações: considere o polinômio do segundo grau ax^2 +bx +c. Imagine que eu queira a soma dos coeficientes. Para x = 1, temos: a1^2 + b1 + c = a + b + c, que é a soma dos coeficientes.Ao substituir x por 1, você está multiplicando todos os coeficientes por um número neutro, que não altera o produto, sobrando apenas os coeficientes.
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Re: Soma de coeficientes

Mensagempor Jonatan » Qua Jun 16, 2010 21:13

É verdade, Fantini... Lendo o que você explicou dá para entender e agora mesmo eu fiz mais exercícios e igualei os coeficientes a 1 e deu tudo certo :)
Essa propriedade de fazer x = 1 para achar a soma dos coeficientes me recorda de alguma coisa das aulas de polinômios, mas não estou certo disto nem cheguei no assunto ainda, estudarei polinômios um pouco mais pra frente! Muito obrigado, me cadastrei no fórum hoje mesmo e já aprendi muito em um só dia... é ótimo saber que existem pessoas prestativas e atenciosas colaborando com o pessoal que estuda sozinho em casa, que é o meu caso. Muito obrigado, mais uma vez!
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.