Equação trigonométrica, fatorial (MACKENZIE)

por **Ananda** » Qua Mar 05, 2008 11:11

Bom dia!

Eis o exercício:

Em $\left[0;2\pi \right]$ , se $\alpha$ é a maior raiz da equação, então $sen\left(\frac{3\alpha}{4} \right)$ vale:

Resposta: -1

Como não consegui fazer a fatorial com o editor de fórmulas, anexei a equação.

Eu consegui chegar a resposta, mas creio que deve haver um método mais simples de se resolver...
Eu fiz assim:

- Resolvi as fatoriais, obtendo:
${cos}^{4}x-4{cos}^{3}x+6{cos}^{2}x-4cosx+1=0$

- Daí, usei as relações de Girardi e obtive:
I) ${r}_{1}+{r}_{2}+{r}_{3}+{r}_{4}=4$
II) ${r}_{1}{r}_{2}+{r}_{1}{r}_{3}+{r}_{1}{r}_{4}+{r}_{2}{r}_{3}+{r}_{2}{r}_{4}+{r}_{3}{r}_{4}=6$
III) ${r}_{1}{r}_{2}{r}_{3}+{r}_{1}{r}_{2}{r}_{4}+{r}_{1}{r}_{3}{r}_{4}+{r}_{2}{r}_{3}{r}_{4}=4$
IV) ${r}_{1}{r}_{2}{r}_{3}{r}_{4}=1$

- Daí pelos valores possíveis de seno, o único valor que coresponde às expressões é 1.
E cosx=1

é: ${0;2\pi}$

alpha

é a maior raiz, então é $2\pi$
Substituindo:
$sen\left(\frac{3.2\pi}{4} \right)$
$sen\left(\frac{3\pi}{2} \right)=-1$ $sen\left(\frac{3\pi}{2} \right)=-1$

Grata desde já!

por **admin** » Qua Mar 05, 2008 15:24

Olá, Ananda!
Primeiro, apenas um pequeno ajuste nas relações de Girard que você escreveu (provavelmente tenha sido um erro na edição):

Sendo

,

e

os coeficientes da equação:
$a\;cos^{4}x + b\;cos^{3}x + c \;cos^{2}x+ d\;cosx + e = 0$

a = 1

E as raízes r_1

,

,

e

, as relações serão:

I) $r_1+r_2+r_3+r_4 = \frac{-b}{a} = 4$

II) $r_1r_2+r_1r_3+r_1r_4+r_2r_3+r_2r_4+r_3r_4= \frac{c}{a} = 6$

III) $r_1r_2r_3+r_1r_2r_4+r_1r_3r_4+r_2r_3r_4 = \frac{-d}{a} = 4$

IV) $r_1r_2r_3r_4 = \frac{e}{a} = 1$

E sobre a sintaxe LaTeX dos números binomiais, você pode utilizar assim:

Código: Selecionar todos: [tex]{n \choose p}[\tex]

${n \choose p}$

Quanto ao outro método mais simples que você perguntou, vou escrever na próxima mensagem.

por **admin** » Qua Mar 05, 2008 16:22

Ao olharmos esta equação:
${4 \choose 0}cos^{4}x - {4 \choose 1}cos^{3}x + {4 \choose 2}cos^{2}x - {4 \choose 3}cosx + 1 = 0$

Os coeficientes lembram o triângulo de Pascal, veja:

Pois também pode ser escrita assim:
${4 \choose 0}cos^{4}x - {4 \choose 1}cos^{3}x + {4 \choose 2}cos^{2}x - {4 \choose 3}cos^{1}x + {4 \choose 4}cos^{0}x = 0$

-Ou ainda, podemos lembrar dele após o desenvolvimento que você fez dos números binomiais, vendo os coeficientes na quinta linha:
$\begin{matrix} &&&&&1\\ &&&&1&&1\\ &&&1&&2&&1\\ &&1&&3&&3&&1\\ &1&&4&&6&&4&&1 \end{matrix}$

Um assunto relacionado é o desenvolvimento da potência n-ésima do binômio (x+a)

, veja:
$\left( x+a \right)^0 = 1$

$\left( x+a \right)^1 = 1x + 1a$

$\left( x+a \right)^2 = 1x^2 + 2xa + 1a^2$

$\left( x+a \right)^3 = 1x^3 + 3x^2a + 3xa^2 + 1a^3$

$\left( x+a \right)^4 = 1x^4 + 4x^3a + 6x^2a^2 + 4xa^3 + 1a^4$

Note que os coeficientes de cada desenvolvimento formam a linha do triângulo de Pascal, sendo o número da linha igual ao expoente de x+a

.

É a chamada identidade do binômio de Newton:
$\left( x+a \right)^n =$

$= {n \choose 0} x^n a^0 + {n \choose 1} x^{n-1} a^1 + {n \choose 2} x^{n-2} a^2 + \dots + {n \choose n-1} x^1 a^{n-1} + {n \choose n} x^0 a^n$

Então, podemos identificar esta identidade na equação dada para simplificá-la.
Para isso, ela ainda pode ser convenientemente reescrita assim:

${4 \choose 0}(cos^{4}x)(-1)^0 +$ ${4 \choose 1}(cos^{3}x)(-1)^1 +$ ${4 \choose 2}(cos^{2}x)(-1)^2 +$ ${4 \choose 3}(cos^{1}x)(-1)^3 +$ ${4 \choose 4}(cos^{0}x)(-1)^4 = 0$

Portanto, agora a potência do binômio de Newton (antes do desenvolvimento) fica mais evidente, simplificando nossa equação, veja:
$\left[ cosx + (-1) \right] ^4 = 0$

Vamos então resolvê-la:

$\left[ cosx + (-1) \right] ^2 \cdot \left[ cosx + (-1) \right] ^2 = 0$

Daqui:
$\left[ cosx + (-1) \right] ^2 = 0$

$\left[ cosx + (-1) \right] \cdot \left[ cosx + (-1) \right] = 0$

cosx + (-1) = 0

Agora, cuidado, antes de analisarmos a condição da raiz do enunciado, assim como o intervalo, temos que determinar a solução geral:
$S = \left\{ x \in \Re \;|\; x = 0 + 2k\pi\right\}$ , sendo $k \in \math{Z}$ .

Somente agora, como o enunciado limita o intervalo em $\left[ 0, 2\pi \right]$ , necessariamente, k=1

e então obtemos a maior raiz $\alpha$ :
$x = 0 + 2\cdot 1 \cdot \pi = 2\pi = \alpha$

$\alpha = 2\pi$

E o final, você já fez:

$sen\left( \frac{3\alpha}{4} \right) = sen\left( \frac{3 \cdot 2\pi}{4} \right) = sen\left( \frac{3 \cdot \pi}{2} \right) = -1$

Espero ter ajudado!

por **Ananda** » Qua Mar 05, 2008 16:27

Grata!
Ajudaste sim!
Estou tendo um pouco de problema com equações trigonométricas, porque fazendo de um modo dá uma resposta e fazendo de outro dá várias!

por **admin** » Qua Mar 05, 2008 16:49

Por nada, Ananda.
Quanto ao "melhor" modo de se resolver um exercício, depende mais da preferência de quem resolve.
É claro que há formalidades na resolução, mas estou citando apenas o objetivo final.

Sobre as equações trigonométricas, em geral, quase todas podem ser reduzidas a uma destas três equações:

$sen \alpha = sen \beta$

$cos \alpha = cos \beta$

$tg \alpha = tg \beta$

São as chamadas equações fundamentais.

Então, sugiro revisar bem a resolução destas equações, antes de qualquer outra mais complicada.

Eu fiz destaque na mensagem anterior sobre o conjunto-solução, pois é importante.
Nas funções circulares, temos infinitas soluções, pois o $k \in \math{Z}$ fará as "voltas" no círculo e a sentença da solução geral ainda será verdadeira (sentido horário ou anti-horário).

Há casos em que o intervalo é limitado, como no enunciado. Mas devemos fazer esta análise após encontrarmos o conjunto-verdade.

Bons estudos!
Quando precisar, escreva. Ajudarei se puder.
Até mais!

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