Sistemas Lineares

por **Cleyson007** » Sáb Mai 03, 2008 01:50

Olá, tudo bem?
Gostaria de saber se o modo que eu utilizei para resolver esse sistema linear está correto. Desde já agradeço, que Deus lhe abençoe.

O sistema é o seguinte:

2x-y+z=4 I
x+2y+z=1 II
x+y+2z=3 III

Da I com a II: Adicionei -2 a II equação para cortar o x, obtendo a equação: -5y-z=2 IV
Da I com a III: Em seguida adicionei -2 a III para cortar o x, obtendo a equação: -3y-3z=-2 IV
Da IV com a V: Adicionei 3 a IV equação para cortar o z, obtendo y= -2/9.
Substitui o valor de y na IV equação achando z= -28/9.
Substitui os valores de z e y na I equação, obtendo x= 31/9.
S:(31/9,-2/9,-28/9)

por **admin** » Sáb Mai 03, 2008 02:35

Olá Cleyson, boa noite, tudo bem!

$\left\{\begin{matrix} 2x-y+z= 4 &\;\;\;(I)\\ x+2y+z=1 &\;\;\;(II)\\ x+y+2z=3 & \;\;\;(III) \end{matrix}\right.$

Cleyson007 escreveu:Da I com a II: Adicionei -2 a II equação para cortar o x, obtendo a equação: -5y-z=2 IV

Aqui, não é verdade que você adicionou -2 à equação II, de fato, você multiplicou por -2 os dois membros da equação II e em seguida somou as equações I e II, obtendo sua equação IV.

Cleyson007 escreveu:Da I com a III: Em seguida adicionei -2 a III para cortar o x, obtendo a equação: -3y-3z=-2 IV

Aqui vale o mesmo comentário, você multiplicou por -2 a equação III e somou com a equação I, obtendo a equação V.

Cleyson007 escreveu:Da IV com a V: Adicionei 3 a IV equação para cortar o z, obtendo y= -2/9.

Cleyson, acredito que aqui sua intenção foi multiplicar por

os dois membros da equação IV e somá-la com a equação V, assim poderá obter

pois

.
Refaça as contas a partir deste passo para obter a solução.

Vale ressaltar que há vários modos de resolver.
Inclusive, o sistema pode ser escrito na forma matricial, como o produto entre duas matrizes.
O método que você está utilizando é de escalonamento, pois obtém um outro sistema equivalente, já escalonado.
Veja um exemplo de sistema equivalente ao inicial, escalonado:
$\left\{\begin{tabular}{rl} 2x-y+z&= 4\\ -5y-z&= 2\\ -6z&= -8 \end{tabular} \right.$
A partir daqui, a solução pode ser obtida por substituição.

Comente qualquer dúvida.
Espero ter ajudado!

por **Cleyson007** » Dom Mai 04, 2008 01:40

Olá Fábio Sousa, realmente quando eu disse: Da IV com a V: Adicionei 3 a IV equação para cortar o z, obtendo y= -2/9, descuidei-me, a intenção era de multiplicar por -3.
Aqui a refaço de novo:
-5y-z=2 IV
-3y-3z=-2 V
Multipliquei por -3 a equação IV para cortar o z, e achei o valor de y= -2/3.
Substituindo y na IV equação encontrei z= 4/3.
Substituindo os valores de y e z na I equação encontrei x= 1.
Espero que seja isso!!! S: (1, -2/3, 4/3).
Muito obrigado por me ajudar em meus estudos, que Deus lhe abençoe.
Um forte abraço, boa noite.

por **admin** » Dom Mai 04, 2008 13:51

Olá Cleyson!

Também obtive este conjunto-solução.
Apenas completando um comentário anterior sobre a forma matricial, este sistema também pode ser escrito assim, considerando a definição de produto de matrizes:

$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

Como o número de equações é igual ao número de incógnitas, também podemos resolver através de determinantes, pelo teorema de Cramer, considerando o determinante da matriz dos coeficientes que é quadrada:

$D= \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

Se $D \neq 0$ , o sistema tem solução única S=(x, y, z)

, sendo:

$x = \frac{D_1}{D}$

$y = \frac{D_2}{D}$

$z = \frac{D_3}{D}$

Onde D_i

é o determinante da matriz obtida a partir da matriz dos coeficientes, substituindo-se a i-ésima coluna pela coluna dos termos independentes das equações do sistema.

$D= \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} =8+1-1-2-2+2=6 \neq 0$ (então, o sistema possui solução única)

$D_1= \begin{vmatrix} 4 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} =16+1-3-6-4+2=6$

$D_2= \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} =4+3+4-1-6-8=-4$

$D_3= \begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} =12+4-1-8-2+3=8$

Então, confirmando a solução já obtida:

$x = \frac{D_1}{D} = \frac{6}{6} = 1$

$y = \frac{D_2}{D} = \frac{-4}{6} = \frac{-2}{3}$

$z = \frac{D_3}{D} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$S = \left( 1 \;,\; -\frac{2}{3} \;,\; \frac{4}{3} \right)$

Vale estudar o teorema de Cramer, especialmente para resolver sistemas lineares com mais de 3 equações.
Bons estudos!

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