Inteiro Estritamente Positivo

por **gustavowelp** » Dom Jun 27, 2010 22:18

Caros amigos:

Surgiu uma questão meio "estranha", a qual não entendi o que se pede:

Segue o enunciado:

Usando o fato de que, para qualquer n inteiro estritamente positivo, $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n.(n+1)}$ , é possível afirmar que o valor correto de $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + ... + \frac{1}{99.(99+1)}$ é:

A alternativa correta é $\frac{99}{100}$

Não entendi a Progressão (se é que se trata de uma Progressão...)

Obrigado!

por **Molina** » Dom Jun 27, 2010 23:55

Boa noite.

Entendi a lógica desse problema. Vamos ver se eu consigo passar o meu entendimento.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + ... + \frac{1}{99.(99+1)}$

De acordo com o enunciado, posso escrever $\frac{1}{2}$ como sendo $\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$

Posso escrever também $\frac{1}{6}$ como sendo $\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

Posso escrever $\frac{1}{12}$ como $\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$

E assim por diante. Até chegar em $\frac{1}{99*(99+1)}=\frac{1}{99}-\frac{1}{99+1}=\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$

Então reescrevendo esta soma $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + ... + \frac{1}{99.(99+1)}$ e substituindo os valores encontrados, temos que:

$\frac{1}{1}-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4} + ... + \frac{1}{99}-\frac{1}{100}$

Mas perceba que os termos vão se anulando, como por exemplo $-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ . E você perceberá que ficará apenas o primeiro e o último termo, que não serão eliminados:

$\frac{1}{1} + 0 + 0 + 0 + ... + 0 - \frac{1}{100} \Rightarrow \frac{1}{1} - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$

Espero ter sido claro.

Bom estudo :y: