Matriz

por **Claudin** » Qui Mar 01, 2012 17:21

4. Classifique cada uma das afirmações abaixo como VERDADEIRA ou FALSA. Se verdadeira, prove, se falsa, prove ou dê um contra-exemplo.

(a) Seja A uma matriz n n. Se $B=AA^{t}A^{-1}$ então det(A) = det(B).

?

(b) Se A e uma matriz 3 3 tal que det(A) = 2 ent~ao det(2A) = 4. falso ?
(c) Para quaisquer matrizes A e B de ordem n n, vale sempre que det(A B) = det(A) det(B). falso ?

(d) Se A e B são matrizes invertveis então a matriz AB e invertível. falso ?

por **Claudin** » Qui Mar 01, 2012 17:24

Em algumas encontrei resultado, porém gostaria de saber se está correto.
E coloquei a resposta logo a frente da alternativa.

por **MarceloFantini** » Qui Mar 01, 2012 21:23

A primeira é verdadeira (lembre-se da propriedade que $\det (AB) = \det A \cdot \det B$ , assumindo que estamos usando números racionais, reais ou complexos).

A segunda é falsa. Quando você tem um número inteiro multiplicando uma linha ou coluna de uma matriz, você pode retirá-lo para fora do determinante. Se você tiver um número multiplicando todas as colunas, quantas vezes ele sairá?

A terceira é falsa para corpos não comutativos, isto é, sistemas algébricos de números onde não vale troca de ordem na operação de multiplicação.

Para a última, lembre-se da dica da primeira. Termine.

por **Claudin** » Sáb Mar 03, 2012 13:43

2ª e 3ª alternativa :y:

4ª alternativa seria Verdadeira?
Tendo em vista que, se a matriz A e a matriz B são invertíveis, quer dizer que o determinante é diferente de zero. E segundo a propriedade detA.detB=detAB

Ou seja, o determinante de AB seria diferente de zero, o que tornaria AB também invertível.

Já a primeira alternativa, continuo sem entender.

por **LuizAquino** » Sáb Mar 03, 2012 13:54

Claudin escreveu:4ª alternativa seria Verdadeira?
Tendo em vista que, se a matriz A e a matriz B são invertíveis, quer dizer que o determinante é diferente de zero. E segundo a propriedade detA.detB=detAB
Ou seja, o determinante de AB seria diferente de zero, o que tornaria AB também invertível.

Ok.

Claudin escreveu:Já a primeira alternativa, continuo sem entender.

Você já entendeu que é verdade que:

$\det (AB) = (\det A)(\det B)$

Na primeira alternativa, temos que:

$\det B = \det \left(AA^tA^{-1}\right) = (\det A) \left[\det \left(A^t A^{-1}\right)\right] = (\det A) \left(\det A^t\right)\left(\det A^{-1}\right)$

Agora leia sobre as propriedades dos determinantes:

Determinante
http://pt.wikipedia.org/wiki/Determinante#Propriedades

Tente terminar o exercício.

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