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ONDE ESTOU ERRANDO?

ONDE ESTOU ERRANDO?

Mensagempor Cleyson007 » Qui Nov 24, 2011 14:09

Boa tarde a todos!

Considere a matriz A=
\begin{pmatrix}
   5 & 4  \\ 
   1 & 2 
\end{pmatrix} e resolva o que se pede:

a) Mostre que a matriz A é diagonalizável e determine a matriz diagonal D correspondente.
b) Determine uma matriz P tal que D={P}^{-1}AP.

Bom, minha resposta não bate com o gabarito. Gostaria de saber onde estou errando:

a) \begin{vmatrix}
   x-5 & -4  \\ 
   -1 & x-2 
\end{vmatrix}\Leftrightarrow{x}^{2}-7x+6=0

Resolvendo, {x}_{1}={\lambda}_{1}=6 e {x}_{2}={\lambda}_{2}=1

Substituindo os valores de \lambda em A\,v=\lambda\,v, encontro:

\begin{pmatrix}
   5 & 4  \\ 
   1 & 2 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
   x   \\ 
   y  
\end{pmatrix}=6
\begin{pmatrix}
   x  \\ 
   y  
\end{pmatrix}. Resolvendo, encontro: {v}_{1}=(4,1).

Agora fazendo \begin{pmatrix}
   5 & 4  \\ 
   1 & 2 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
   x   \\ 
   y  
\end{pmatrix}=1
\begin{pmatrix}
   x  \\ 
   y  
\end{pmatrix} encontro: {v}_{2}=(-1,1)

Logo, a matriz pedida é P=
\begin{pmatrix}
   4 & -1  \\ 
   1 & 1 
\end{pmatrix} com Det\neq0. Logo, A é diagonalizável.

b) {P}^{-1}=
\begin{pmatrix}
   \frac{1}{5} & \frac{1}{5}  \\ 
   \frac{-1}{5} & \frac{4}{5} 
\end{pmatrix}

Resolvendo D={P}^{-1}AP, encontro: D=
\begin{pmatrix}
   5 & 4  \\ 
   1 & 2 
\end{pmatrix}.

Gabarito: a) D=
\begin{pmatrix}
   1 & 0  \\ 
   0 & 6 
\end{pmatrix} e b) P=
\begin{pmatrix}
   1 & 4  \\ 
   -1 & 1 
\end{pmatrix}.

Até mais.
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Cleyson007
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Re: ONDE ESTOU ERRANDO?

Mensagempor LuizAquino » Dom Nov 27, 2011 18:57

Cleyson007 escreveu:Considere a matriz A= \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} e resolva o que se pede:

a) Mostre que a matriz A é diagonalizável e determine a matriz diagonal D correspondente.
b) Determine uma matriz P tal que D={P}^{-1}AP.


Cleyson007 escreveu:Bom, minha resposta não bate com o gabarito. Gostaria de saber onde estou errando:

a) \begin{vmatrix} x-5 & -4 \\ -1 & x-2 \end{vmatrix}\Leftrightarrow{x}^{2}-7x+6=0

Resolvendo, {x}_{1}=\lambda_{1}=6 e {x}_{2}={\lambda}_{2}=1


Ok. Esse são os autovalores.

Cleyson007 escreveu:Substituindo os valores de \lambda em A\,v=\lambda\,v, encontro:

\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=6 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. Resolvendo, encontro: {v}_{1}=(4,1).


Ok. Esse é um autovetor associado ao autovalor \lambda_{1}=6.

Cleyson007 escreveu:Agora fazendo \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} encontro: {v}_{2}=(-1,1)


Ok. Esse é um autovetor associado ao autovalor \lambda_{2}=1.

Cleyson007 escreveu:Logo, a matriz pedida é P= \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} com Det \neq 0. Logo, A é diagonalizável.


Ok. Mas eu presumo que você quis dizer \det P \neq 0 .

Cleyson007 escreveu:b) {P}^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{-1}{5} & \frac{4}{5} \end{pmatrix}

Resolvendo D={P}^{-1}AP, encontro: D= \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.


Está errado. Note que:

D={P}^{-1}AP = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{-1}{5} & \frac{4}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Cleyson007 escreveu:Gabarito: a) D= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} e b) P= \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.


Nessa resposta foi usado que \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=6 . Portanto, a primeira coluna de P deve ser o autovetor (-1, 1). Já a segunda coluna de P deve ser o autovetor (4, 1). Ao que parece você cometeu um erro de digitação, pois devemos ter P= \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} no gabarito.

Note que outra reposta válida é obtida quando é usado \lambda_{1}=6 e \lambda_{2}=1 . Nesse caso, a primeira coluna de P é o autovetor (4, 1). Já a segunda coluna de P é o autovetor (-1, 1). Essa foi a resposta que você estava no caminho.
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}