[Matrizes] Matriz Identidade

por **mota_16** » Sex Dez 06, 2013 11:12

Pessoal, não consigo resolver essa questão.

As matrizes A, I e J são quadradas de ordem 2 e I é a matriz identidade. Se a matriz A = $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ satisfaz as relações $A-\lambda I=\beta J$ e ${J}^{2}=-I$ , com $\lambda$ e $\beta$ números reais, então a matriz J é igual a:

Resposta:
$J=+ ou - \frac{1}{\sqrt[]{3}} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

por **e8group** » Sáb Dez 07, 2013 11:45

Uma forma é estabelecer uma relação entre os escaleres $\beta , \lambda$ com os termos da matriz inversa de

.Nota a matriz

tem determinante não nulo e assim ela possui inversa e esta matriz denotada por $A^{-1}$ é única .

Se $A - \lambda I = \beta J$ então $A = \beta J + \lambda I$ (1) .Multiplicando-se (1) por $\beta J - \lambda I$ e usando $\beta J - \lambda I = A - 2\lambda I$ no lado esquerdo da igualdade e J^2 = -I

no lado direito ,obtemos

$A(A - 2\lambda I) = \beta J + \lambda I = -(\beta^2 + \lambda^2)I$ (2) . Logo ,

$A \cdot \left( \frac{-1}{\beta^2 + \lambda^2} A + \frac{2\lambda}{\beta^2 + \lambda^2} I\right) =I$ e assim concluímos que $A^{-1} = \frac{-1}{\beta^2 + \lambda^2} A+ \frac{2\lambda}{\beta^2 + \lambda^2} I = \frac{1}{\beta^2+ \lambda^2}\left(- A + 2 \lambda I\right)$ (3) .

Agora tente concluir a parti daí .

por **mota_16** » Sáb Dez 07, 2013 19:04

Olá Santhiago,

Eu consegui entender as passagens, porém ao obter a matriz inversa relacionadas com os escalares eu não tenho mais quem quero descobrir que é exatamente a matriz J. Por isso, não consegui enxergar como a matriz inversa vai me ajudar na resolução do problema. Pensei em fazer $A.{A}^{-1}=I$ para descobrir os escalares. Como $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ , ${A}^{-1}=\frac{1}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}}\left(-A + 2\lambda I \right)$ e $I= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , teríamos:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \left[ \frac{1}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}}\left(-A + 2\lambda I \right) \right]= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \left[ \frac{1}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}}\left(- \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \right) + 2\lambda I \right) \right]= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\left[\frac{1}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}}\left( \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \right) + \begin{pmatrix} 2\lambda & 0 \\ 0 & 2\lambda \end{pmatrix} \right]= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\left[\frac{1}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}} \begin{pmatrix} 2\lambda-1 & 2 \\ -2 & 2\lambda+3 \end{pmatrix} \right]= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{2\lambda-1}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}} & \frac{2}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}} \\ \frac{-2}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}} & \frac{2\lambda + 3}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Resolvendo o produto:

$\frac{2\lambda - 1}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}}+ \frac{4}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}}=1\Rightarrow {\beta}^{2}+{\lambda}^{2}-2\lambda=3$

$\frac{2}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}}+\frac{-4\lambda - 6}{{\beta}^{2}+{\lambda}^{2}}=0 \Rightarrow -4\lambda=4 \Rightarrow \lambda=-1$

Substituindo na equação anterior, obtém-se $\beta=0$

Acho que errei em algum lugar... É esse o raciocínio?

por **e8group** » Sáb Dez 07, 2013 20:33

Parece que você obteve resultado errado devido erros de cálculos . Na verdade sugerir trabalhar com a matriz inversa, por que tem um resultado para matrizes $2\times 2$ não singulares que nos fornece esta matriz através da aplicação de uma fórmula . (veja : http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_inv ... s_2.C3.972) .

Comentário sobre sua resolução :

Na primeira linha após "teríamos " , aquela expressão é equivalente a de baixo

$A\left[ \frac{1}{\beta^2 + \lambda^2}(-A+ 2\lambda I) A\right] = I$ que pode ser desenvolvida da seguinte forma :

$\frac{1}{\beta^2 + \lambda^2} \left(A(-A + 2\lambda I)\right) = \frac{1}{\beta^2 + \lambda^2}(-A^2 + 2 \lambda AI) = \frac{1}{\beta^2 + \lambda^2}(-A^2 + 2\lambda A) = I$ .

Ou ainda ,multiplicando ambos os lados da igualdade por $\beta^2 + \lambda^2$ vamos obter

$-A^2 + 2\lambda A = (\beta^2 + \lambda^2)I$ . Como

$-A^2 = -A \cdot A = \begin{pmatrix}3& 8 \\ -8 & -5 \end{pmatrix}$ ,

$2\lambda A = \begin{pmatrix}2\lambda & -4 \lambda\\ 4\lambda & 6\lambda \end{pmatrix}$ e

$(\beta^2 + \lambda^2)I= \begin{pmatrix}\beta^2 + \lambda^2 & 0\\ 0 & \beta^2 + \lambda^2 \end{pmatrix}$ ,segue

$\begin{pmatrix}3 +2\lambda & 8 -4\lambda \\ -8 +4\lambda & -5 + 6\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\beta^2 + \lambda^2 & 0\\ 0 & \beta^2 + \lambda^2 \end{pmatrix}$ .
Daí , para que esta matrizes sejam iguais teremos

$\begin{cases} 3 +2\lambda = \beta^2 + \lambda^2 \\8 -4\lambda = 0 \\ -8 +4\lambda= 0 \\-5 + 6\lambda = \beta^2+\lambda^2 \end{cases}$ .

De acordo com segunda e terceira equação deste sistema temos $\lambda=2$ e assim o sistema se reduz a

$\begin{cases} 3 + 4= \beta^2 + 4\\ -5 + 12 = \beta^2 +4 \end{cases}$ que nos dá $\beta = \pm \sqrt{3}$ como solução .

Lembrando que $J = \frac{1}{\beta}(A - \lambda I)$ ,substituindo os escalares pelos valores encontrados obterá a reposta .

por **mota_16** » Sáb Dez 07, 2013 21:00

santhiago muito obrigado pela ajuda! Entendi perfeitamente como fez! Vou rever meus cálculos e descobrir o erro.

por **e8group** » Sáb Dez 07, 2013 21:32

Há outra forma . Suponha $J = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ . Pelo que

J^2 = -I

,segue

. Portanto

é invertível e sua inversa é

(*)

. Além disso,

J^2 = -I

acarreta que $\begin{pmatrix} a^2 +bc & ab +bd \\ ca +dc & d^2+cb \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ e assim

a^2 +bc = -1

,

equivalentemente ,

a^2 -d^2 = (a-d)(a+d) = 0

.

Analisando as soluções p/ primeira equação concluímos que a-d = 0

ou

.Se ocorrer
a-d = 0

implicará

e $d= \pm 1$ .Já na segunda possibilidade , temos a = -d

,para este caso devemos encontrar b,c

reais que cumpre bc = -1 - d^2

(**) e

(Apenas dividi por \beta e definir os novos escalares como m e p ) . Prosseguindo :

$J = m A + pI = \begin{pmatrix} m +p & -2m \\ 2m & 3m+p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -d & b\\ c & d \end{pmatrix}$ . Logo ,

m +p = -d

(1)

(2)

(3)

(4) ,

[(1) +(4)] $\implies 2m +p = 0 \implies p = -2m$ .

Então b = -2m , c = 2m , d = m

. Utilizando estes resultados em (**) ,

$bc = -1 - d^2 \iff -4m^2 = -1 -m^2 \iff 1 = 3m^2 \iff m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ . E assim a,b,c,d estarão bem determinados .

Para aquele primeiro caso em que $a= d = \pm 1 ,b,c = 0$ ,

se exprimir por a I

onde

é uma das possibilidades

ou

e assim teremos
$J^2 = (aI)^2 = a^2 I^2 = a^2 I = 1 \cdot I = I$ que contradiz o fato de J^2 = -I

.

Editado .

por **mota_16** » Sex Dez 27, 2013 22:06

santhiago, tudo bem?

Estava estudando essa questão novamente e verifiquei que você postou uma nova resolução. E refazendo os passos eu não entendi o por quê do valor do d ser igual a um positivo ou um negativo em "Se ocorrer a-d = 0

implicará

e $d= \pm 1$ ". Pode esclarecer?

santhiago escreveu:Há outra forma . Suponha $J = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ . Pelo que

,segue . Portanto é invertível e sua inversa é (*)

. Além disso,

acarreta que $\begin{pmatrix} a^2 +bc & ab +bd \\ ca +dc & d^2+cb \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ e assim

,

equivalentemente ,

.

Analisando as soluções p/ primeira equação concluímos que ou .Se ocorrer
implicará e $d= \pm 1$ .Já na segunda possibilidade , temos ,para este caso devemos encontrar reais que cumpre (**) e (Apenas dividi por \beta e definir os novos escalares como m e p ) . Prosseguindo :

$J = m A + pI = \begin{pmatrix} m +p & -2m \\ 2m & 3m+p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -d & b\\ c & d \end{pmatrix}$ . Logo ,

(1)
(2)
(3)
(4) ,

[(1) +(4)] $\implies 2m +p = 0 \implies p = -2m$ .

Então . Utilizando estes resultados em (**) ,

$bc = -1 - d^2 \iff -4m^2 = -1 -m^2 \iff 1 = 3m^2 \iff m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ . E assim a,b,c,d estarão bem determinados .

Para aquele primeiro caso em que $a= d = \pm 1 ,b,c = 0$ , se exprimir por onde é uma das possibilidades ou e assim teremos
$J^2 = (aI)^2 = a^2 I^2 = a^2 I = 1 \cdot I = I$ que contradiz o fato de .

Editado .

por **e8group** » Sex Dez 27, 2013 22:44

Boa noite . Vou rever a resposta [observei erroneamente a eq a^2 -bc = -1

,nesta época que respondi este tópico vi a mesma eq. como a^2-bc = 1

que em consequência nos $a=d = \pm 1$ se a=b=0

, a seguir vou rever minha resposta ].

Consegue ver que se a-d = 0

então

? Caso sim ,note que a matriz

se escreve como $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ e deixando o número

em evidência ,temos que

$J = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ou de forma mais compacta J = a I

.Por hipótese a matriz

é tal que $J^2 =J \cdot J = - I$ .

Mas, se J = a I

teremos

que é um absurdo , pois para qualquer número real $a\neq 0$ o seu quadrado será positivo e assim vemos que não existe

real p/ o qual J^2 = - I

.

Outra forma de notares que

não é real é pela equação que já foi mencionada entre[] a^2 -bc = -1

.Com

temos

.

Comente as dúvidas .

por **mota_16** » Sex Dez 27, 2013 23:07

Santhiago, perfeito nas explicações!

Entendi perfeitamente o que expôs! A única dúvida era mesmo no valor de d. Muito obrigado!

por **mota_16** » Sex Dez 27, 2013 23:45

Santhiago é possível enviar-lhe uma MP (mensagem particular) ? Tentei mas no meu cadastro não estou habilitado. Existe outra forma?

por **e8group** » Sáb Dez 28, 2013 01:23

Boa noite .Possuo o mesmo problema que você (não estou habilitado a enviar MP) .Suponho que somente os moderadores usufruem deste recurso . De qualquer forma, se precisar entrar em contato ,segue-se abaixo meu e-mail

guimaraes_thiago@live.com

Att.,

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