[Matrizes] Dúvida conceitual

[souzalucasr]

Pessoal,

Estou com uma dúvida na seguinte questão conceitual*:

11. Suponha que e onde são matrizes tais que a multiplicação esteja definida.

a) ?

b) Se existir uma matriz , tal que , onde é a matriz identidade, então ?

Bem, a resposta do item (a) é não, pois não necessariamente quando .

Minha dúvida está no item (b).

Entendo que se , então , visto que uma matriz multiplicada por sua inversa é igual à matriz identidade. No entanto, eu não sei justificar como esse fato afetaria a proposição acima, ou seja, se o fato de que a matriz tem uma inversa teria alguma influência na proposição de que .

Alguém poderia me ajudar?

*Fonte: Álgebra Linear, 3a edição, pg. 12, Ed. Harbra, Boldrini et al

[MarceloFantini]

Uma matriz pode ter inversa à esquerda, daí teríamos que , e usando associatividade segue . Usando o fato que , então e e portanto .

[souzalucasr]

Uma matriz pode ter inversa à esquerda, daí teríamos que , e usando associatividade segue . Usando o fato que , então e e portanto .

Obrigado pela resposta, Marcelo!

Eu poderia dizer então, a partir de sua resposta para o item (b) e da resposta que apresentei para o item (a), que sempre que uma matriz é não-singular, então implica em ?

Digo isso pois entendo que no caso exposto em (a), em que , a matriz deve ser singular para que seja verdadeiro. Estou correto em afirmar isso?

[MarceloFantini]

Uma matriz ser não-singular significa que ela tem inversa pela direita e pela esquerda, o que não precisa ser verdade. A resposta para o item (a) é claro que não necessariamente, tome , e , então mas .

Note que ele não falou nada sobre serem matrizes quadradas, significa que não podemos falar em A ser singular ou não.

[souzalucasr]

Perfeito, Marcelo. Muito obrigado, novamente!