[Matriz]-Álgebra Linear

por **Ana_Rodrigues** » Qua Fev 29, 2012 15:50

Se $A= \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$ , ache B, de modo que ${B}^{2}=A$

Não sei resolver essa questão, peço a quem souber que me ajude a resolvê-la.

Desde já, agradeço!

por **LuizAquino** » Qua Fev 29, 2012 16:02

Ana_Rodrigues escreveu:Se $A= \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$ , ache B, de modo que ${B}^{2}=A$

Suponha que a matriz B seja:

$B = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$

Calculando B^2

, que é o mesmo que BB, obtemos que:

$B^2 = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2 + yz & wy + xy \\ wz + xz & w^2 + yz \end{pmatrix}$

Agora, você compara cada termo dessa matriz com cada termo da matriz A. Você terá o sistema:

$\begin{cases} x^2 + yz = 3 \\ wy + xy = -2 \\ wz + xz = -4 \\ w^2 + yz = 3 \end{cases}$

Resolvendo esse sistema, você determina x, y, z e w. Com isso, você determina a matriz B.

Agora tente terminar.

por **Ana_Rodrigues** » Qua Fev 29, 2012 21:29

Oi, na verdade meu problema é resolver esse tipo de sistema.
Eu resolvi, talvez esteja incompleto.

${x}^{2}+yz=3$
xy+wy=-2

${w}^{2}+yz=3$

x=w

Daí eu deduzi que:

y=1

Peço que mostre seu jeito de responder esse sistema!

por **Ana_Rodrigues** » Qua Fev 29, 2012 21:31

Oi, na verdade meu problema é resolver esse tipo de sistema.
Eu resolvi, talvez esteja incompleto.

${x}^{2}+yz=3$
xy+wy=-2

${w}^{2}+yz=3$

x=w

Daí eu deduzi que:

y=1

Peço que mostre seu jeito de responder esse sistema!

por **LuizAquino** » Qui Mar 01, 2012 02:16

Ana_Rodrigues escreveu:Oi, na verdade meu problema é resolver esse tipo de sistema.
Eu resolvi, talvez esteja incompleto.
(...)
Peço que mostre seu jeito de responder esse sistema!

$\begin{cases} x^2 + yz = 3 \\ wy + xy = -2 \\ wz + xz = -4 \\ w^2 + yz = 3 \end{cases}$

Da primeira e da última equação, temos que:

$x^2 + yz = w^2 + yz \Rightarrow x^2 = w^2 \Rigtharrow x = \pm w$

Devemos descartar a solução x = -w, pois substituindo x por -w na segunda ou na terceira equação obtemos uma falsidade.

Na segunda equação, temos que y(w + x) = -2. Como x = w, temos que y = -1/x.

Já na terceira equação, temos que z(w + x) = -4. Como x = w, temos que z = -2/x.

Tomando agora a primeira equação, temos que:

x^2 + yz = 3

$x^2 + \frac{2}{x^2} = 3$

x^4 - 3x^2 + 2 = 0

Resolvendo essa equação biquadrada, temos que $x_1 = -\sqrt{2}$ , x_2 = -1

,

e $x_4 = \sqrt{2}$ .

Portanto, o sistema possui quatro soluções:

$\begin{cases} x = -\sqrt{2} \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ z = \sqrt{2} \\ w = -\sqrt{2} \end{cases}$

$\begin{cases} x = -1 \\ y = 1 \\ z = 2 \\ w = -1 \end{cases}$

$\begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \\ z = -2 \\ w = 1 \end{cases}$

$\begin{cases} x = \sqrt{2} \\ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ z = -\sqrt{2} \\ w = \sqrt{2} \end{cases}$

Isso significa que existem quatro possibilidades para a matriz B.

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