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[Matriz]-Álgebra Linear

[Matriz]-Álgebra Linear

Mensagempor Ana_Rodrigues » Qua Fev 29, 2012 15:50

Se A=
\begin{pmatrix}
   3 & -2  \\ 
   -4 & 3 
\end{pmatrix}, ache B, de modo que {B}^{2}=A


Não sei resolver essa questão, peço a quem souber que me ajude a resolvê-la.

Desde já, agradeço!
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Re: [Matriz]-Álgebra Linear

Mensagempor LuizAquino » Qua Fev 29, 2012 16:02

Ana_Rodrigues escreveu:Se A= \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}, ache B, de modo que {B}^{2}=A


Suponha que a matriz B seja:

B = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}

Calculando B^2, que é o mesmo que BB, obtemos que:

B^2 =  \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2 + yz & wy + xy \\ wz + xz & w^2 + yz \end{pmatrix}

Agora, você compara cada termo dessa matriz com cada termo da matriz A. Você terá o sistema:

\begin{cases}
x^2 + yz = 3 \\
wy + xy = -2 \\
wz + xz = -4 \\
w^2 + yz = 3
\end{cases}

Resolvendo esse sistema, você determina x, y, z e w. Com isso, você determina a matriz B.

Agora tente terminar.
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Re: [Matriz]-Álgebra Linear

Mensagempor Ana_Rodrigues » Qua Fev 29, 2012 21:29

Oi, na verdade meu problema é resolver esse tipo de sistema.
Eu resolvi, talvez esteja incompleto.


{x}^{2}+yz=3
xy+wy=-2
xz+wz=-4
{w}^{2}+yz=3


x=w
z=2y
wy=-1
xy=-1
wz=-2
xz=-2

Daí eu deduzi que:

y=1
z=2
x=-1
w=-1

Peço que mostre seu jeito de responder esse sistema!
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Re: [Matriz]-Álgebra Linear

Mensagempor Ana_Rodrigues » Qua Fev 29, 2012 21:31

Oi, na verdade meu problema é resolver esse tipo de sistema.
Eu resolvi, talvez esteja incompleto.


{x}^{2}+yz=3
xy+wy=-2
xz+wz=-4
{w}^{2}+yz=3


x=w
z=2y
wy=-1
xy=-1
wz=-2
xz=-2

Daí eu deduzi que:

y=1
z=2
x=-1
w=-1

Peço que mostre seu jeito de responder esse sistema!
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Re: [Matriz]-Álgebra Linear

Mensagempor LuizAquino » Qui Mar 01, 2012 02:16

Ana_Rodrigues escreveu:Oi, na verdade meu problema é resolver esse tipo de sistema.
Eu resolvi, talvez esteja incompleto.
(...)
Peço que mostre seu jeito de responder esse sistema!


\begin{cases} x^2 + yz = 3 \\ wy + xy = -2 \\ wz + xz = -4 \\ w^2 + yz = 3 \end{cases}

Da primeira e da última equação, temos que:

x^2 + yz = w^2 + yz \Rightarrow x^2  = w^2  \Rigtharrow x = \pm w

Devemos descartar a solução x = -w, pois substituindo x por -w na segunda ou na terceira equação obtemos uma falsidade.

Na segunda equação, temos que y(w + x) = -2. Como x = w, temos que y = -1/x.

Já na terceira equação, temos que z(w + x) = -4. Como x = w, temos que z = -2/x.

Tomando agora a primeira equação, temos que:

x^2 + yz = 3

x^2 + \frac{2}{x^2} = 3

x^4 - 3x^2 + 2 = 0

Resolvendo essa equação biquadrada, temos que x_1 = -\sqrt{2} , x_2 = -1 , x_3 = 1 e x_4 = \sqrt{2} .

Portanto, o sistema possui quatro soluções:

\begin{cases}
x = -\sqrt{2} \\
y = \frac{\sqrt{2}}{2} \\
z = \sqrt{2} \\
w = -\sqrt{2}
\end{cases}

\begin{cases}
x = -1 \\
y = 1 \\
z = 2 \\
w = -1
\end{cases}

\begin{cases}
x = 1 \\
y = -1 \\
z = -2 \\
w = 1
\end{cases}

\begin{cases}
x = \sqrt{2} \\
y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
z = -\sqrt{2} \\
w = \sqrt{2}
\end{cases}

Isso significa que existem quatro possibilidades para a matriz B.
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.